따끈따끈한 피자 한 판이 눈앞에 있다. 그중 가장 토핑이 많고 맛있어 보이는 조각의 끝부분을 잡고 들어 올린다. 쭉 늘어난 치즈에 침이 꿀꺽! 앗, 그런데 너무 많이 토핑을 올렸는지 치즈와 함께 토핑이 와르르 떨어지려고 한다. 그때 우리는 피자를 살짝 반으로 접는다. 그러면 늘어진 피자 앞부분이 똑바로 펴진다는 걸 안다. 누가 가르쳐주지 않아도 우리가 자연스럽게 했던 이런 행동에 수학 원리가 담겨 있다.
피자 반죽이나 비닐봉지 같은 얇은 물체의 한쪽을 잡고 든다고 할 때, 한쪽이 구부러져 늘어지는 건 아주 쉬운데, 반면 꼿꼿하게 펴기는 매우 어렵다. 그런데 구부러짐과 펼쳐짐은 서로 독립적인 요소가 아니어서 어느 한쪽을 조절함으로써 다른 쪽에 영향을 미칠 수 있다. 이런 현상을 설명하는 것이 독일 수학자 카를 프리드리히 가우스의 ‘빼어난 정리’다.
빼어난 정리는 ‘곡면을 찢지만 않으면 구부리거나 늘려도 가우스 곡률은 변하지 않는다’는 이론이다. 여기서 가우스 곡률은 평면의 한 점에서 피자 반죽이 얼마나 구부러졌는지 나타내는 수치다. 피자에서의 가우스 곡률은 가로 방향의 곡률과 세로 방향의 곡률을 곱해서 구할 수 있다. 아무 힘도 가하지 않은 평평한 상태의 피자는 구부러져 있지 않으므로, 가우스 곡률이 0이다.
빼어난 정리에 따르면 피자를 들었을 때도 가우스 곡률은 0이 된다. 위 첫 번째 그림과 같이 피자 끝을 잡고 들어올리면 가로 방향은 평평하니까 곡률이 0이다. 가로세로에서 이미 0이 들어갔으니 세로 곡률이 무엇이든 곱셈의 결과는 0이 된다. 따라서 피자는 제멋대로 휜다. 이때 양쪽을 접어 가로 방향으로 살짝 곡률의 크기를 늘리면 피자는 빼어난 정리에 따라 가우스 곡률 0을 유지하기 위해 세로 곡률이 0이 된다. 그래서 피자 조각을 세로로 접으면 도우가 구부러지지 않게 펴져 토핑이 떨어지지 않는다.
라지 사이즈 피자 시킨 당신은 수학 천재!
피자를 혼자 또는 둘이 먹어도 가격 대비를 생각해서 라지 사이즈 피자를 시켰다면 당신은 방금 굉장히 수학적인 선택을 한 것이다. 스몰 사이즈 피자와 라지 사이즈 피자의 가격이 4배 넘게 차이 나지 않는 이상 라지 사이즈 피자를 시키는 것이 가격 대비 경제적이기 때문이다.
캐나다 구엘프대학교를 졸업하고 유튜브와 인스타그램 등 SNS에서 재미나고 기발한 과학상식을 알리는 미첼 모핏과 그레고리 브라운은 피자의 반지름으로 넓이를 구하고 가격 대비 어떤 것이 훨씬 효율적인지 알아봤다.
그들은 스몰 사이즈 피자는 반지름이 약 4인치로, 넓이는 50제곱인치 정도이고, 라지 사이즈 피자는 반지름이 약 8인치로 넓이는 200제곱인치 정도라고 밝혔다. 라지 사이즈는 스몰 사이즈에 비해 넓이가 약 4배 정도 큰 셈이다. 즉 피자의 양이 4배 많다.
이런 결과가 나온 이유는 피자의 넓이가 반지름의 제곱에 비례하기 때문이다. 피자(원)의 넓이를 구하는 공식은 (반지름)2π로 피자의 반지름이 2배가 되면 넓이는 4배가 된다. 그런데 피자 체인점에서 내놓은 가격들을 살펴보니 라지 사이즈가 스몰 사이즈에 비해 더 비싸긴 해도 4배까지 차이 나는 곳은 없었다. 그러니 앞으로 피자는 무조건 라지 사이즈로 시키자.
