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“아빠, 올해 크리스마스엔 눈이 올까요? 크리스마스 이브부터 함박눈이 내렸으면 좋겠어요.”
“하나는 화이트 크리스마스를 꿈꾸는구나. 그 소원을 담아 크리스마스 트리 맨 꼭대기에 코흐 눈꽃을 달아 볼까?”
“코흐 눈꽃이요? 이건 언제 만드셨어요? 저도 만들어 보고 싶어요.”
“그럼 이 눈꽃만 트리에 달고 함께 만들어 보자. 두리야, 조심해! 이러다 아빠 넘어지겠다.”

눈 결정을 닮은 프랙탈, 코흐 눈꽃

12월에는 크리스마스가 있어 많은 사람들이 손꼽아 기다린다. 수학자들도 예외는 아니라서, 많은 수학자들이 12월에는 수학적으로 특별한 곡선을 학생들에게 가르치곤 한다. 바로 눈 결정을 닮아 ‘코흐 눈꽃’ 또는 ‘코흐 눈송이’라고 불리는 프랙탈 도형이다.

여기서 프랙탈이란, 도형 전체를 여러 부분으로 나눴을 때 부분 안에 전체 모습이 그대로 보이는 도형이다. 로마네스코 브로콜리, 해안선, 혈관 조직 등이 대표적인 예다.

코흐 눈꽃은 스웨덴의 수학자 헬게 폰 코흐가 고안한 것으로, 가장 단순한 도형인 직선이 간단한 규칙에 의해 실제 눈꽃과 비슷한 모양을 가진다. 규칙은 주어진 선분을 3등분한 뒤, 가운데 선분을 구부려 올려 삼각형 모양으로 만드는 것이다. 다시 말해 각각의 선분을 이 규칙에 맞게 바꿔 주는 과정을 무한 번 반복하면 코흐 눈꽃이 만들어진다.
 
코흐 눈꽃은 직선뿐만 아니라 정삼각형을 이용해서 만들 수도 있다. 정삼각형을 이용한 코흐 눈꽃은 육각형 형태이기 때문에 눈의 결정과 더욱 닮아 있다.

이번 실험에서는 정삼각형을 이용한 코흐 눈꽃을 만들어 보자. 그런데 실험에 앞서 숙지해야 할 것이 있다. 바로 색종이로 정육각형을 만드는 방법이다.
 
아하! 실험 플러스 코흐 눈꽃의 수학적 성질

코흐 눈꽃은 프랙탈 도형의 일종이다. 따라서 코흐 눈꽃 속 정삼각형은 모두 서로 닮아 있다. 그렇다면 전체와 부분은 어떤 비율로 닮아 있을까?

우선 실험 2의 ➋에서 그린 정삼각형을 정삼각형A, ➌에서 그린 걸 정삼각형B, ➍에서 그린 걸 정삼각형C라고 하자. 그러면 정삼각형A, B, C 각각에서 각 변이 차지하는 칸의 수와 작은 정삼각형의 개수는 몇 개일까? 일일이 헤아려 보면 정삼각형A는 9칸, 정삼각형B는 3칸, 정삼각형C는 1칸임을 알 수 있다. 정삼각형A에 들어 있는 작은 정삼각형은 총 81개, 정삼각형B에는 9개, 정삼각형C에는 1개가 들어 있다.