d라이브러리 2017년 06호 수학동아

◀ 전쟁 중에 물품을 조달할 때는 적 군에게 눈에 띄지 않고 안전하게 전달하는 게 가장 중요하다.

전쟁 중에는 모든 상황이 시시각각 변하며 전투가 벌어지는 장소와 시간, 날씨에 따라 전쟁의 양상이 달라진다. 무엇보다 물품 보급과 지휘관의 적절한 작전 지시는 전쟁의 승패에 결정적인 영향을 준다. 그래서 지휘관은 늘 시간에 따라 변하는 병력의 수와 군수 물자의 양을 확인해야 한다. 동시에 상대군의 병력의 규모도 파악해야 한다. 그래야 상황에 맞는 적합한 작전을 찾을 수 있다.

매 순간 변하는 상황에 맞게 작전을 짜려면 수학을 이용한 전투 모형을 만들어야 한다. 전투 모형에 이용되는 대표적인 수학적 방법은 확률과 미분방정식이다. 미분방정식은 여러 가지 변수와 미분식으로 이뤄진 수학 방정식으로, 순간 변화량을 측정하는 데 쓰인다.

수학으로 만든 전투 모형
미분방정식을 이용한 대표적인 수학 전투 모형이 란체스터 법칙이다. 이 전투 모형으로 상대군의 전투력 변화나 전투 중인 병력 수를 계산할 수 있다. 두 군대가 있을 때 한 군대의 전투력 손실은 다른 한 군대의 전투력 상승과 비례하고, 다른 조건은 영향을 주지 않는다는 사실을 가정한다면, 란체스터 전투 모형에 수학은 어떻게 이용될까?

X군대와 Y군대가 전쟁을 치르고 있다. 각 군대는 병력을 각각 x, y만큼 갖고 있다. X군대의 전투력 손실량은 시간에 따른 병력의 변화량이다. 이 변화량은 미분법을 이용해 수학식으로 나타내면 dx/dt다. Y군대 입장에서는 X군대에게 치명타를 준 정도를 계산하면 된다. 공격했을 때 치명타를 준 비율과 병력 수로 나타낼 수 있다. 즉, 유효사격율과 병력 수를 곱하면 된다. X군대의 전투력 손실 정도는 Y군대의 공격 성공률과 같다. 같은 방법으로 Y군대 기준으로도 식을 구할 수 있다. 따라서 다음과 같은 간단한 식이 나온다.

전투 효과를 나타내기 위해서는 오른쪽의 확률형 전투 모형을 이용한다. X군대가 Y군대를 파괴할 확률을 p라고 하고, Y군대가 X군대를 파괴할 확률을 q라고 했을 때 상대방 사격에 의해 군대가 파괴되지 않을 확률은 각각 1-q, 1-p다.

전투 모형에서 X군대부터 한 번씩 번갈아 사격을 한다고 가정하면 각 사건에 대해 확률은 순차적으로 나타난다. 이와 같은 방법을 반복해서 n번째 사격을 할 때 각각의 경우에 따른 확률을 구할 수 있다. 실제 군에서 이용하는 전투 모형은 훨씬 더 복잡하고 다양한 변수가 복합적으로 포함돼 있다.

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Part 4. 전투의 비밀병기, 수학