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“수학공식을 이용하지 않는 이런 유형의 수학문제는 처음 봤어요. 마치 수학퍼즐 같았죠. 그래서 무척 당황스러웠지만 한편으로는 문제 자체가 재미있어서 한번 풀어보고 싶다는 생각이 들었어요.” 시험을 치른 대부분의 학생이 고사장을 나오면서 한 말입니다. 대체 어떤 문제가 출제됐기에 학생들이 이런 반응을 보인 걸까요?

O레벨 중등부 1번 문제(4점)

피타고라스 곱셈표에서 가로세로의 길이가 모두 홀수이고 두께가 1인 한 직사각형 틀이 표시되어 있다. 즉, 두 직사각형 사이에 끼인 영역으로 액자의 테두리를 생각하면 된다. 이 틀의 각 칸을 체스판처럼 검정색과 흰색을 번갈아 칠했을 때, 검정색 칸의 수를 모두 합한 것과 흰색 칸의 수를 모두 합한 것이 같음을 증명하여라. 피타고라스 곱셈표는 각각의 m, n에 대해, m번째 행, n번째 열의 칸에는 정수 m×n이 들어가는 표다. 구구단 곱셈표를 크게 확장했다고 생각하면 된다.
 

O레벨 고등부 3번(5점)

양 방향으로 무한히 뻗은 직선 도로의 한 지점에 경찰서가 있다. 도둑이 헌 경찰차를 훔쳤다. 이 차의 최고 속도는 새 경찰차의 최고 속도의 90%다. 얼마 뒤, 이 차가 없어진 것을 알게 된 경찰관이 새 경찰차를 타고 도둑을 쫓기 시작했다. 하지만 경찰관은 이 차가 언제 도난당했는지, 도둑이 이 도로에서 어느 방향으로 달아났는지를 모른다. 이 경찰관이 반드시 도둑을 잡는 방법이 있는가?
 

답안 계산하기 편하게 새 경찰차가 단위시간 1h당 100km를 간다고 하자. 즉 새 차는 100km/h, 헌 차는90km/h로 이동한다. 이때 경찰관은 ‘도둑은 1h 이내에 차를 훔쳐 우측으로 갔다’고 가정한다. 그러면 도둑은 현재 우측으로 0km 초과, 90km 미만의 어느 지점에 있을 것이다. 새 차와 헌 차의 상대 속도는10km/h이므로 경찰관은 우측으로 9시간 달린다.

만약 그의 가정이 참이었다면 그는 중간에 도둑을 잡았을 것이다. 아니라면 가정이 틀린 것이다. 그러면 새 가정을 만든다.

‘도둑은 (내가 처음 탄 시점에서) 1h 이내에 차를 훔쳐 좌측으로 갔다’고 가정한다. 그러면 도둑은 현재 좌측으로 810km 초과, 900km 미만의 어느 지점에 있을 것이다. 따라서 경찰관과 도둑은 최대 1800km 떨어져 있다.경찰관은 좌측으로 180h를 달린다.

만약 둘째 가정이 참이라면 경찰관은 도중에 도둑을 잡았을 것이다. 아니라면 셋째 가정을 만든다.

‘도둑은 2h 이내에 차를 훔쳐 우측으로 갔다’라는 가정에 따라 위에서 했던 것처럼 도둑의 예상 위치를 구한다. 이것을 이용해 앞에서처럼 계산된 시간(h)을 달린다.

셋째 가정이 참이라면 경찰관은 도둑을 잡았을 것이다. 아니라면 넷째 가정을 세운다.

‘도둑은 2h 이내에 차를 훔쳐 좌측으로 갔다.’다시 말하면 ‘1h 이내, 우측’, ‘1h 이내, 좌측’‘2h 이내, 우측’, ‘2h 이내, 좌측’
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이런 식으로 가정이 틀릴 때마다 새롭게 가정을 만든다. 새 차는 헌 차보다 빠르므로 영원히 놓치는 일은 없고, 결국 어느 시간을 가면 가정을 검증하고 도둑을 잡거나 다음 가정이 세워진다. 이 규칙대로 가정을 만들어 나가면 결국 가정 중 하나는 참이므로 경찰관은 유한한 시간 내에서 도둑을 잡을 수 있다.



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