수학적 지식을 기초로 한 문제보다는 수학적인 사고로 풀 수 있는 문제가 출제됩니다. 매년 다른 유형의 문제가 출제되기 때문에 출제경향이나 예상문제는 없습니다. 문제 출제자는 오래도록 기억에 남는 아름다운 수학문제를 내는 것을 목표로 한다고 합니다. 대회에서 좋은 성적을 거두려면 모든 상황을 수학으로 생각하는 연습을 해야 합니다. 다시 말해 항상 수학적으로 생각하는 것이지요.
A레벨 중등부 1번(4점)
평면에 한 직선과 둥근 동전 하나가 주어져 있다. 다음의 두 가지 조작이 허용된다.
❶ 한 점을 골라, 이 점이 동전의 둘레 위에 놓이도록 동전을 적당히 놓은 뒤 이 동전의 둘레를 따라 원을 그린다.
❷ 동전 지름보다 서로 가까운 두 점을 골라, 이 두 점이 동전의 둘레 위에 놓이도록 동전을 놓은 뒤 이 동전의 둘레를 따라 원을 그린다.
다음을 만족시키는 두 점을 작도하여라. 이 두 점을 이은 직선은 주어진 직선에 수직이다. 단, 동전을 직선에 접하도록 놓는 조작은 허용되지 않는다.
답안 직선 l 위에 두 점 A, B를 잡고 점 A, B를 지나는 두 원을 그린다.
한 원에 임의의 점 C를 잡는다. 그리고 A, C를 지나도록 원을 그린다. 그러면 이 원과 l의 교점이 2개 생긴다. 두 교점에서 A가 아닌 점을 D라고 하자.
이때 원이 직선 l과 접해 교점이 하나 생긴다면 다른 점을 C로 잡자.
A와 D를 지나는 원을 그리고 이 원과 원①의 두 교점에서 A가 아닌 교점을 E라고 하자. C와 E를 이으면 직선 l 과 수직이다.
(증명) CE와 직선 l의 교점을 H라고 하자. 원①과 원②, 원③과 원④는 직선 l 에 대하여 대칭이다. 그러므로 CD= DE이며 CH= HE다.
△CHD≡△DHE(SSS)
∠CHD =∠DHE이고 ∠CHD+∠DHE =180°이므로
∠CHD=∠DHE=90°
∴CE⊥직선 l
A레벨 고등부 4번(7점)
두 명의 마법사가 대결을 벌인다. 그들은 먼저 고도 100으로 바다 위를 날아올랐다. 그리고는 번갈아 가면서 주문을 내뱉는데, 각각의 주문은 “나의 고도를 a만큼 줄이고, 상대의 고도를 b만큼 줄여라”라는 의미다. a와 b는 0＜a＜b인 실수이고, 주문마다 달라질 수 있다. 두 마법사가 사용할 수 있는 주문의 종류 집합은 같고, 주문은 순서나 횟수에 제한 없이 어느 때고 마음대로 사용할 수 있다. 이때 주문의 종류 집합을 S라 하자. 해수면에 대해 자신의 고도가 양의 값이고 상대 고도가 그렇지 않게 되면 이 마법사가 이긴다.
ⓐ 먼저 주문을 시작하는 마법사가 어떻게 하느냐에 상관없이 나중에 주문을 시작하는 마법사가 항상 이길 수 있게 되는 유한집합 S가 존재하는가?(2점)
ⓑ S가 무한집합일 때는 위 질문의 결과가 어떻게 되는가?(5점)
답안 ⓐ 먼저 주문을 시작하는 마법사(A)가 b- a가 최대인 (a, b)∈S의 주문을 말한다면, 다음에 상대 마법사(B)가 어떤 (a′, b′)을 택하더라도 b′-a′≤b-a, a+b′≤b+a′이므로 A(a+b′ 하강)가 B(b+a′ 하강) 보다 위에 있거나 같은 높이에 위치한다. 따라서 조건을 만족하는 유한집합 S는 존재하지 않는다.
ⓑ S={(a, b)| 0‹a‹ b‹100, a, b∈R}이라고 무한집합 S를 잡을 경우, A가 어떤 주문 (a, b)을 쓰더라도 b′=100-a, 0‹a′‹100 - b, a′‹ b′인 (a′, b′)을 선택할 수 있어 B가 항상 이길 수 있다.
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