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현대에 일어난 전쟁 중 가장 많은 인명과 재산 피해를 남긴 전쟁은 제2차 세계대전이야. 참혹한 전쟁이었지만 이 전쟁을 치르면서 새로운 응용수학이 많이 발전했어. 현대 전쟁에서는 과거와 달리 엄청난 두뇌 싸움이 필요해지면서 수학이 전쟁에서 핵심 역할을 담당한 셈이지. 특히 최소의 피해로 최대의 성과를 얻는 작전을 짜는 문제, 많은 군사 물품을 효율적으로 배치하는 문제 등을 해결하기 위해 선형계획이란 방법이 생겼는데, 무엇인지 알아볼까?
1914년에 태어난 미국의 수학자 조지 단치히는 제2차 세계대전 동안 미국 국방부에 서 일했어. 전쟁이 일어나면 병사들에게 필요한 군사 물품이 아주 많기 때문에 물품을 적재적소에 배치하는 것도 어려운 일이야. 수학적인 방법이 필요한 것이지. 국방부에서 단치히가 한 일은 공군 부대와 장비를 배치하고, 훈련 및 물자 지원을 효율적으로 할 수 있는 방법을 계산하는 거였어. 단치히는 여러 가지 가능성이 많은 상황에서 최선의 방법을 찾기 위해 연구했고, 1947년 '심플렉스법'을 개발해 지금의 선형계획법의 선구자가 됐어.
선형계획법은 여러 개의 일차방정식이나 부등식을 풀어서 최선의 방법을 찾는 방법이야. 일차방정식 그래프가 선형(직선)이기 때문에 선형계획이라고 해. 선형계획이란 말은 생소하지만 선형계획은 초등학교에서 배우는 수의 범위, 중학교의 일차방정식과 부등식, 고등학교에서 배우는 부등식의 영역과 밀접한 관련이 있어.
단치히는 통계학을 공부하던 시절에도 매우 뛰어난 재능으로 유명했는데, 학창시절 단치히와 관련된 유명한 이야기가 있어. 단치히는 통계학 공부를 하던 시절 통계학으로 유명한 버클리대학교 네이먼 교수의 수업을 듣게 됐어. 그런데 강의 첫째 날부터 지각을 하는 바람에 조용히 들어갔는데, 칠판에는 두 문제가 적혀 있었지. 수업에 늦어서 교수님께 묻지도 못하고 숙제겠거니 생각하고 두 문제를 풀어 갔지. 그리고는 다음 수업 때 숙제를 제출했더니 교수님은 깜짝 놀라시며 “정말 이 문제를 자네가 풀었나?” 하며 물어 보았어. 그 문제는 ‘풀리지 않는 문제’의 예로 네이먼 교수가 적어 둔 거였는데 단치히가 풀었던 거야. 단치히는 풀리지 않는 문제를 풀어 학술지에 실리는 영광을 얻게 됐어. 그리고 이 이야기는 영화 ‘굿 윌 헌팅’의 소재가 됐지.
선형계획법은 전쟁 속 에서 태어난 수학이지만 지금은 경제와 경영 분야에서 폭넓게 쓰이고 있어. 제한된 조건에서 최선의 상황을 찾아야 하는 일이 경제와 경영 분야에 아주 많기 때문이야. 회사에서는 최소의 비용으로 최대의 이윤을 얻기 위해 고민하고, 가정을 꾸리는 알뜰한 엄마는 최소의 비용으로 필요한 물건을 사고 관리하기 위해 고민하지. 또 학생은 시험기간에 한정된 시간을 잘 활용해서 많은 과목을 공부해야 하는데, 이 모든 게 선형계획의 원리야. 주어진 조건에서 최선의 방법을 찾아야 하기 때문이지. 다음 이야기는 어느 회사에서 새로운 제품을 만들기 위해 의논한 내용인데, 함께 보자.
회사에서는 150컵의 당근 주스와 90컵의 사과 주스를 사용하여 두 종류의 음료를 만들려고 합니다. 1kg의 캐롯사과 주스는 당근 주스 3컵과 사과 주스 1컵으로 만듭니다. 그리고 당근애플 주스는 당근 주스 2컵과 사과 주스 2컵으로 만들려고 합니다. 캐롯사과 주스 1kg으로부터는 3000원의 이익을, 당근애플 주스 1kg으로부터는 4000원의 이익을 남길 때 최대의 이익을 남기려면 캐롯사과 주스와 당근애플 주스를 각각 얼마씩 만들어야 할까요?
이런 문제를 풀려면 여러 개의 일차 부등식을 만들어야 해. 부등식이 만족하는 영역은 다각형이 되는데, 최선의 방법은 다각형의 꼭짓점에서 찾을 수 있어. 이런 방법으로 최선의 방법을 찾는 것을 선형계획이라고 하는 거야. 최선의 선택을 하기 위해 수학이 꼭 필요하다는 걸 이제 알겠지?
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수학을 알면 축구가 보인다
PARTⅠ 수학을 알아야 축구를 잘 한다 : 축구는 수학이다
PART Ⅱ 수학으로 월드컵을 예측한다 : 누가누가 이길까?
전쟁에서 꽃 피운 수학
작전명령 ① 대포를 정확하게 쏴라!
작전명령 ② 정확한 지도를 만들어라!
작전명령 ③ 최선의 방법을 찾아라!
작전명령 ④ 더 빠르고, 더 정확하게!
