에르되시 팔은 전 세계를 여행하며 평생 무려 511명의 사람과 1525편 이상의 논문을 쓴 것으로 유명하다. 그는 어려운 수학 문제에 부딪히면 주위 사람들과 협력을 통해 푸는 것을 즐겼으며, 문제에 상금을 걸어 더 많은 사람이 그 문제에 관심을 갖게 했다. 이토록 수학 문제 풀이에 몰두했던 그도 소수를 이해하는 건 무척 복잡한 일이라 생각했다.
먼저 약수부터 살펴보면, 약수란 어떤 자연수를 나눠떨어지게 하는 자연수를 말한다. 고대 그리스의 피타고라스학파는 ‘모든 것의 근원은 수’라고 생각하며, 수에 특별한 의미를 부여했다. 그중 약수를 중요하게 여겼다. 당시 약수와 관련해 특이한 성질이 있는 수는 천문학, 점성술에서 중요한 역할을 했다.
그런데 모든 자연수의 약수 개수가 같지 않다. 8의 경우는 약수가 1, 2, 4, 8로 4개고, 12는 1, 2, 3, 4, 6, 12로 6개다. 자연수 중에는 약수의 개수가 단 2개뿐인 수가 있다. 약수도 특별한데, 심지어 약수가 2개밖에 없는 수라니 특별한 수 중에서 가장 특별한 수가 소수인 셈이다.
1은 왜 소수가 아닐까? 1을 빼는 첫 번째 이유는 1을 소수로 인정하면 수학에서 유용한 일부 정리가 틀린 것이 되면서 복잡해지기 때문이다.
만약 1을 소수로 받아들인다면, 숫자 10을 소인수분해한 결과가 2×5로 단 한 가지만 나오는 것이 아니라 1 × 2 × 5, 1² × 2 × 5, 1³ × 2 × 5, … 등 다양한 형태로 나타난다. 이것은 어떤 수를 소인수분해 했을 때 단 한 가지 형태로 나타나야 한다는 ‘산술의 기본정리’에 어긋난다. 산술의 기본정리는 정수론 연구에서 기본이 되는 약속이다.
또 다른 이유는 소수를 처음 정의할 때 역수가 있는 수는 제외하기로 한 것과 관련이 있다. 소인수분해를 자연수 범위에서만 하는 이유이기도 하다. 만약 소인수분해를 유리수 범위로 확장하면 6 = 12 × 1/2, 24 × 1/4, 30/3 × 3/5, …과 같이 무수히 많은 경우가 생긴다.
또 자연수 범위에서 유일하게 역수가 존재하는 수가 1이다. 그래서 1은 소수에서 제외하기로 약속했다. 그러면 역수가 존재하는 수를 제외하기로 한 원칙과 산술의 기본정리 이 두 가지 약속을 모두 지킬 수 있다.
