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수학자에게 가장 섹시한 수를 꼽으라 하면 단연 섹시 소수를 그 예로 들 것이다. 섹시 소수는 5와 11처럼 차이가 6씩 나는 ‘소수쌍’을 말한다. 대체 왜 이런 이름이 붙었을까?

라틴어에서는 6을 ‘섹스(sex)’라고 한다. 수학자는 여기서 아이디어를 얻어 한 번 들으면 절대로 까먹지 않고, 사람의 흥미를 끌 수 있도록 섹시 소수라고 이름을 지었다. 

섹시 소수 중에 (5, 11, 17), (7, 13, 19), (11, 17, 23)처럼 (p, p + 6, p + 12)가 모두 소수인 경우를 ‘세쌍둥이 섹시 소수’라 하고, (5, 11, 17, 23), (11, 17, 23, 29)처럼 (p, p + 6, p + 12, p + 18)이 모두 소수인 경우를 ‘네쌍둥이 섹시 소수’라고 부른다. 네쌍둥이 섹시 소수는 (5, 11, 17, 23)을 제외하고는 항상 첫 번째 원소의 일의 자릿수가 1이라는 특징이 있다. ‘다섯 쌍둥이 섹시 소수’는 (5, 11, 17, 23, 29)밖에 없다.

수학자는 각각의 섹시 소수에 대해 가장 큰 섹시 소수를 찾기 위해 노력하고 있다. 현재까지 발견한 가장 큰 섹시 소수는 11593 자릿수이고, 세쌍둥이 섹시 소수는 5132 자릿수, 네쌍둥이 섹시 소수는 1004 자릿수다. 모두 미국 수학자 켄 데이비스가 발견했다.

쌍둥이 소수, 사촌 소수도 있다!

소수쌍 중에 가장 유명한 건 (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19)처럼 소수의 차이가 2인 쌍둥이 소수다. 쌍둥이 소수가 무한히 많은지 밝히는 연구가 수학계 대표 난제기 때문이다. 

1보다 큰 자연수는 소수의 곱으로 유일하게 표현되기 때문에 소수의 성질을 이해하는 것이 수의 성질을 다루는 정수론에서 매우 중요하다. 문제는 소수가 불규칙하게 나타나 연구하는 것이 보통 어려운 일이 아니다. 

수학자들은 소수들 사이의 간격에 관한 연구를 계속하고 있다. 2013년 중국계 미국인 수학자 이탕 장은 소수 간격이 7000만 이하인 소수쌍이 무한히 많음을 증명해 권위 있는 수학 학술지인 <;수학 연보>;에 실었다. 이후 1년간 연구의 속도가 붙어 상당한 진전을 이뤘다. 특히 수학자들의 난제 공동 연구 프로젝트인 ‘폴리매스’에서 이 문제에 관심을 가지면서 두 소수의 간격을 246까지 좁혔다. 즉 두 소수 간격이 246 이하인 소수쌍이 무한히 많다. 현재는 연구가 소강상태다.

한편 소수의 간격 차가 4인 소수쌍은 ‘사촌 소수’, 8인 소수쌍은 ‘팔촌 소수’라 부른다. 소수 간격에 관한 수학자의 호기심은 끝이 없어서 가장 큰 간격의 값을 알아내는 연구도 펼치고 있다. 수학자 테렌스 타오, 벤 그린, 제임스 메이나드, 케빈 포드, 세르게이 코냐긴은 2018년 <;미국 수학학회지>;에 매우 큰 수 X에 대해 이웃한 두 소수의 차가 가장 큰 값은 아래 식보다 크다고 밝혔다.