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‘결혼을 잘하려면 연애를 많이 해봐야 한다’라는 말이 있다. 수학적으로 따졌을 때도 이 말이 맞을까? 대체 몇 번째 사귄 사람과 결혼하는 것이 가장 좋은 걸까? 

수학자들은 여러 강연과 글에서 최고의 비서를 뽑는 전략을 알아보는 ‘비서 문제’로 이를 알아봤다. 비서 문제의 기원은 명확하지 않다. 유희 수학자 마틴 가드너가 1960년에 미국의 과학 전문 잡지 <;사이언티픽 아메리칸>;에 문제와 풀이를 소개한 것이 가장 오래된 기록이다.

만약 지금까지 사귄 사람의 수가 5명이고, 앞으로 사귈 사람까지 총 10명을 만난다고 할 때 최고의 배우자를 A라고 하자. 또 지금까지 만난 이성보다는 낫지만, 최고는 아닌 상대를 B라고 하자. 이런 상황에서 지금까지 사귄 사람보다 더 나은 사람이 나타나면 결혼할 때 최고의 배우자와 결혼할 확률을 구하면 된다.

그런데 만약 A가 현재 만나는 사람이거나 그전에 만났던 사람이라면 단연 최고의 배우자를 만날 수 없다. 이때는 A와 결혼할 확률을 구하는 것이 의미가 없다. 따라서 앞으로 최고의 신랑감이 등장할 거라고 가정한다.

만약 A가 6번째로 등장하면 결혼 문제는 쉽게 해결된다. A는 사귄 총 남자친구 10명 중에 1명이므로, 그와 결혼하게 될 확률은 1/10이다.

그런데 A가 7번째로 등장하면, B가 언제 등장했는지에 따라 확률이 달라진다. 먼저 B가 6번째에 등장하면 가정에 의해 B와 결혼했을 것이다. 즉 A와 결혼할 확률은 0이다. B가 6번째에 등장하지 않는다면 B가 1번째 또는 2, 3, 4, 5번째에 나타났거나 아직 나타나지 않은 것이다. 따라서 B가 6번째에 나타나지 않을 확률은 합의 법칙에 따라 5/6다. 그런데 A가 등장할 확률은 1/10이므로, 구하고자 하는 확률은 곱의 법칙에 따라 5/6 × 1/10이다.

마찬가지 방법으로 A가 8번째에 등장할 때 결혼할 확률은 5/7 × 1/10 이고, 9번째는 5/8 × 1/10 이고, 10번째는 5/9 × 1/10이다. 

지금까지 계산한 모든 확률을 더하면 앞으로 A와 결혼하게 될 확률이 구해진다. 그 값은 1/10 + (5/6 × 1/10) + (5/7 × 1/10) + (5/8 × 1/10) + (5/9 × 1/10) ≒ 37.28%이다.

최고의 배우자 A와 결혼할 확률이 약 37.28%라고 하면 그리 높지 않다고 생각할 수 있지만, 무턱대고 선택해서 A와 결혼할 확률인 10%보다는 훨씬 높다. 그런데 만약 총 n명과 사귀고 현재까지 x명에게 퇴짜를 놨다면 결과가 어떨까? 

최고의 배우자와 결혼할 공식은 이다. 일반적으로 x가 n의 36.7%일 때, 정확히 말해서 x가 n/e일 때 최댓값이 된다. 여기서 e는 오일러의 수로, 약 2.718이다. 따라서 총 15명을 사귄다면 5명까지 사귄 다음에 지금까지 만난 사람보다 더 멋진 사람을 만났을 때 결혼하는 전략을 쓰는 것이 좋다.