악당 연속체 가설을 물리치려면 어떻게 해야 하나 고민이 참 많았는데, 최근 한 수학자 무리가 연속체 가설이 거짓이라는 것을 보일 수 있는 무기를 만들었다고 들었소. 대체 어떤 무기인지 같이 보겠소?
최근 데이비스 에스페로 영국 이스트앵글리아대학교 수학과 교수와 랄프 쉰들러 독일 뮌스터대학교 수학 및 정보학과 교수는 기존의 공리를 이용해 연속체 가설이 거짓이라는 쪽에 힘을 실었습니다. 그들이 사용한 공리는 우딘의 ‘스타 공리’와 ‘마틴 최대 공리’예요.
두 공리는 서로 모순이라고 알려져 있었습니다. 즉 둘 중 하나가 참이면 다른 하나는 거짓이라는 거지요. 거기다 두 공리 모두 현대수학의 이론과 거리가 있었습니다.
그런데 연구팀이 마틴 최대 공리의 논리를 다르게 나타내면 우딘의 ‘스타 공리’가 된다는 것을 발견했습니다. 연속체 가설이 거짓임을 뒷받침하는 두 공리가 실은 같은 내용이었고, 더 나아가 이 둘을 연결하면 더 큰 범위의 무한집합에서도 적용할 수 있다는 것을 보인 겁니다.
하지만 이 결과를 두고 수학자들의 반응은 갈립니다. ‘수학 명제에는 언제나 참과 거짓이 있다’라고 생각하는 수학자들은 결과를 반겼습니다. 반면, 일부 수학자들은 ‘현대수학의 바탕을 이루는 표준 공리에서 참, 거짓을 가릴 수 없는 문제를 새로운 공리를 추가해 밝히는 것이 수학계 발전에 도움되지 않는다’고 생각하기 때문이지요.
김병한 연세대학교 수학과 교수는 “대수학이나 위상수학 분야에서는 참, 거짓을 가릴 수 없는 문제는 연구하지 않는다”며, “이번 연구결과는 연속체 가설이 거짓임을 뒷받침하긴 하지만, 연속체 가설의 참, 거짓 논란을 끝낼 수 있을 만큼 도입한 공리가 완벽하지 않다”고 말했습니다. 나아가 “가설을 세우고 조건을 바꿔 실험하며 가설을 검증하는 과학처럼, 연속체 가설 문제 역시 공리를 추가하는 시도를 반복해 참 또는 거짓일 수밖에 없다는 결론을 내야 하는데, 현재로는 연속체 가설이 참임을 보이는 공리가 새로 등장할 가능성이 남아있기 때문”이라고 설명했습니다.
_ 인터뷰
“10년 만에 연속체 가설의 실마리를 찾았어요”
안녕하세요, 데이비드 에스페로 교수입니다. 제가 처음 연속체 가설을 연구했던 건 2012년이에요. 그때부터 저와 쉰들러 교수는 우딘과 마틴 최대 공리를 연결 지으면 연속체 가설이 거짓임을 보일 수 있다고 생각했어요. 하지만 생각만큼 되지 않았고, 그 뒤로 몇 년 동안은 잊고 지냈죠. 그러다 2017년 즈음에 어떤 정리를 증명하려고 정리해 뒀던 아이디어들을 보다가 연속체 가설을 연구했던 때의 기록을 발견했어요. 그리고 그때 우리가 무엇을 놓치고 있었는지 알게 됐고 다시 연구를 이어갔지요.
2018년 10월, 휴식을 취하기 위해 이탈리아 중부의 오피 마을에 가고 있었는데, 갑자기 문제를 풀 아이디어가 떠올랐어요. 바로 ‘마틴 최대 공리를 만족하는 집합을 모두 찾아 스타 공리에 맞는지 확인하는 것’이었어요. 결국 우리는 수년 동안 스타 공리를 따르는 집합은 모두 마틴 최대 공리를 따른다는 것을 확인했어요. 그렇게 모순 관계라던 두 공리를 엮을 수 있었습니다. 이때가 연구하던 중 있었던 몇 안 되는 즐거운 순간이었습니다.
이번에 찾은 내용은 표준 공리에서 도출해 낸 것이 아닌, 새로 만들어낸 것이기 때문에 현대수학과 거리가 있습니다. 따라서 이번에 찾은 내용을 발전시켜 현대수학에서도 통하는 공리를 찾아 거짓임을 증명할 겁니다. 언젠가는 괴델의 말처럼 자연스러운, 새로운 공리를 찾아 연속체 가설을 증명할 수 있을 거라 기대합니다.
하지만 줄리엣 케네디 핀란드 헬싱키대학교 수학 및 통계학과 교수는 이 결과에 대해 ‘수학의 역사에서 일어난 가장 지적으로 흥미진진하고 절대적으로 극적인 일 중의 하나’라고 표현했습니다.
이처럼 수학자들의 반응은 다양하지만, 이번 연구 결과는 수학계의 저명한 국제학술지인 ‘수학 연보’에 실릴 정도로 인정받고 있습니다. 과연 무한의 비밀을 풀 수 있는 연속체 가설은 언제쯤 증명될까요? 밝혀지는 순간 우리는 무한의 세계에 한 발자국 더 가까워질지 기대됩니다.
