연속체 가설이 무한 세계 최고의 악당이 된 뒤, 약 90년 동안 많은 수학자가 싸우기 위해 고군분투했소. 하지만 번번이 물러서야 했다오. 그들의 혈투를 엿보고 단서를 찾아보겠소?
[연속체 가설은 참, 거짓을 나눌 수 없소!]
놀랍게도 연속체 가설은 현대수학으로 참, 거짓을 증명할 수 없다는 것이 이미 밝혀져 있습니다. 1930년대 오스트리아 출신 미국 수학자 쿠르트 괴델은 현대수학의 표준 공리에 ‘구성 가능성 공리’를 더한 조건에서는 연속체 가설의 거짓을 보일 수 없다는 것을 증명합니다. 이것이 그 유명한 ‘불완전성 정리’입니다. 여기서 공리란 수학 이론체계에서 가장 기본이 되는 명제로, 증명할 필요 없이 받아들여지는 진리를 말합니다. 표준 공리는 10개의 공리로 구성되며, 현대수학의 근간을 이룹니다.
이후 1960년대 미국 수학자 폴 조지프 코언은 표준 공리 아래에서는 연속체 가설이 참이라는 것을 증명할 수 없다는 것을 밝힙니다. 이 결과로 코언은 젊은 수학자가 받을 수 있는 최고 영예인 필즈상을 1966년에 받았습니다.
이로써 연속체 가설은 현대 수학의 기본을 이루는 공리 조건 아래에서는 참과 거짓을 판단할 수 없다고 밝혀집니다. 하지만 괴델은 “새로운 공리 체계가 나오면 연속체 가설의 참, 거짓을 판단할 수 있을 것”이라고 주장했습니다.
[연속체 가설은 거짓이오!]
수학자들은 괴델이 말한 ‘새로운 공리’를 찾는 연구를 계속했습니다. 그러던 1970년 미국 수학자 도널드 앤서니 마틴과 로버트 마틴 솔로베이는 ‘마틴 공리’라는 새로운 공리를 도입합니다. 마틴 공리는 실수 집합보다 크기가 더 작은 집합들은 자연수 집합과 유사한 성질을 갖는다는 내용입니다. 관련 연구팀은 이후 마틴 공리에 몇 가지 조건을 더해 ‘마틴 최대 공리’로 확장하고, 표준 공리에 이 공리를 더한 조건 아래에서 연속체 가설은 거짓이라는 것을 증명합니다.
1999년에는 미국 수학자 윌리엄 휴 우딘이 마틴 최대 공리를 변형한 ‘오메가 논리’와 ‘스타 공리’를 도입하면 연속체 가설이 거짓이라고 밝혔습니다.
하지만 위의 두 연구는 연속체 가설이 참일 수 없다는 것을 증명하지는 못해, 수학자 모두에게 인정을 받지 못했습니다.
[연속체 가설은 참이오!]
연속체 가설을 처음 떠올린 칸토어는 가설이 참이라 굳게 믿었지만, 끝내 증명을 하지 못했습니다. 이후 연구는 계속됐지만, 큰 진전을 이루지 못했지요. 하지만 연속체 가설이 거짓이라고 주장했던 휴 우딘이 10년 전부터 ‘L-공리’의 조건 아래에서는 연속체 가설이 참이라 주장하고 있습니다. 궁극적인 L로도 불리는 L-공리는 괴델이 연속체 가설이 거짓임을 밝힐 수 없을 때 사용했던 ‘구성 가능성 공리’와 유사합니다.
