수학자들은 무한을 정의하기 위해 실수, 자연수와 같이 개수가 무한한 집합을 눈여겨보기 시작했소. 그러다 무한의 신기한 성질을 발견했지요. 20세기 최고의 수학자 다비트 힐베르트의 사고 실험으로 그 성질을 알려주겠소. 일명 ‘무한호텔’이오.
만약 호텔의 모든 객실에 손님이 있어 빈방이 없을 때, 또 다른 손님 한 명이 오면 어떻게 해야 할까요? 우리가 사는 세상의 호텔이라면 손님을 받을 수 없겠지만, 무한호텔이라면 몇 명의 손님이 와도 받을 수 있습니다. 말 그대로 ‘무한’한 방을 가지고 있기 때문이죠.
먼저 손님 한 명이 왔을 때, 빈방을 하나 만들어 보겠습니다. 방에 있는 모든 사람에게 호텔의 지배인이 “자신의 방 번호에 1을 더한 번호의 방으로 이동하세요”라고 공지합니다. 그러면 1번 방의 사람은 2번 방으로, 2번 방의 사람은 3번 방, 무한한 번호의 방에 있는 사람은 무한에 1을 더한, 즉 무한한 번호의 방에 또 들어가게 됩니다. 결과적으로 1번 방이 비어 새 손님을 받을 수 있습니다.
이번에는 빈방이 없는 무한호텔에 손님이 무한히 찾아온 상황을 상상해 보겠습니다. 아무리 무한호텔이라고 하지만, 빈방을 무한하게 만들 수 있을까요? 무한호텔이라면 가능합니다. 먼저 호텔의 지배인이 호텔에 있는 손님들에게 “자신의 방 번호에 2를 곱한 번호의 방으로 이동하세요”라고 말합니다. 그러면 1번 방에 있던 사람은 2번 방, 2번 방에 있던 사람은 4번 방으로 옮기게 되죠.
그럼 결과적으로 1, 3, 5, 7, 9, 번의 홀수 방은 빈방이 됩니다. 홀수 역시 무한할 테니 새로 온 무한한 손님을 받을 수 있지요. 만약 짝수 방을 비우고 싶다면, “자신의 방 번호에 2를 곱하고, 1을 뺀 번호의 방으로 이동하세요”라고 말하면 됩니다.
힐베르트는 이런 무한호텔로 무한의 신비함을 설명했습니다. 무한호텔 이야기는 1947년 러시아 출신의 미국 천문학자 조지 가모프의 책 <;1, 2, 3 그리고 무한>;에 등장하면서 널리 알려졌고, 지금은 무한을 보여주는 예시로 많이 사용됩니다.
