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학교 수업 중 원의 넓이나 둘레 등을 계산할 때 쓰는 원주율(π·파이)은 3.14입니다. 소수점 아래 2번째 자릿수까지만 계산에 넣는 거죠. 하지만 현대 공학과 산업 분야에서는 계산의 정확도를 높이기 위해서 일반적으로 소수점 아래 6번째 자릿수까지 반영합니다. 수학에 열성적인 사람들이 파이데이인 3월 14일 15시 9분 2초를 콕 짚어 기념하는 이유입니다. 과연 이 정도로 정확한 원주율은 언제 처음 찾아낸 것일까요?

정96각형으로 3.14 구해낸 아르키메데스

인류 문명의 발상지로 손꼽는 메소포타미아 문명(고대 페르시아)이나 황하 문명(고대 중국)에서는 오랫동안 원주율을 3으로 생각했습니다. 지름이 1cm인 원의 둘레를 펼쳤을 때 그 길이가 3cm라고 본 거죠. 당시에는 수레의 바퀴가 한번 굴렀을 때 정확히 얼마만큼 움직였을지 구하는 문제의 답이 부정확할 수밖에 없었던 이유입니다.  

하지만 또 다른 문명의 발상지인 이집트는 달랐습니다. 기원전 1850년경 고대 이집트인들이 남긴 린드 파피루스 기록에는 이집트인들이 구한 원의 넓이 공식이 나옵니다. 그 기록을 오늘날의 방식으로 표현하면 원의 넓이 S는 (16/9)²입니다. 이때 r은 반지름을 의미합니다. 이 식과 현재 원의 넓이 공식(πr²)을 같다고 놓고 원주율을 구하면 이집트인들이 사용한 원주율은 ‘3.1604…’가 됩니다. 다른 문명과 비교하면 놀라울 정도로 정밀한 결과였죠.

약 1600년의 시간이 흐르고 나서야 이를 뛰어넘는 계산 결과가 등장합니다. 그 주인공은 고대 그리스의 도시국가였던 시라쿠사(현재 이탈리아 시칠리아섬)에서 태어난 아르키메데스(기원전 287~212년경)였어요. 그는 원에 외접하는 정다각형과 내접하는 정다각형을 이용하는 방법을 고안했습니다. 원의 둘레는 외접하는 정다각형의 둘레보다 길이가 짧고, 내접하는 정다각형의 둘레보다는 길다고 생각한 겁니다.

아르키메데스는 그림①처럼 외접하고 내접하는 정96각형 두 개를 이용해 원주율이 223/71과 22/7 사이에 있음을 알아냈습니다. 사실 이 시기에는 소수의 개념이 없어 분수로 값을 표기했는데요. 이를 소수점 셋째 자리에서 반올림할 경우 약 3.14가 됩니다. 우리가 학교에서 계산할 때 사용하는 소수점 아래 2번째 자릿수까지의 원주율을 아르키메데스가 완성한 거죠. 그는 정96각형의 각 변의 길이를 구하기 위해 피타고라스 정리와 현재 우리가 쓰는 삼각함수와 비슷한 형태의 공식, 제곱근에 대한 근삿값 등 매우 복잡한 식을 풀어야 했습니다. 

3.141592까지 알아낸 조충지

서양의 학자보다 먼저 원주율의 소수점 아래 6번째 자릿수까지 정확하게 맞힌 것은 중국의 수학자였습니다. 기원후 250년경 중국 삼국시대 위나라 사람이었던 유휘가 아르키메데스처럼 원에 정192각형을 내접 및 외접시켜 원주율이 3.132704와 3.141024 사이의 값임을 밝혔습니다. 후에 그는 정3072각형을 이용해 소수점 아래 5번째 자릿수까지 정확하게 찾아냅니다.

 이제 첫 번째 이야기의 주인공, 조충지를 소개할 때가 됐네요. 429년부터 500년까지 중국 남북조시대 송나라에 살았던 수학자 조충지는 천문학 계산이나 토지측량의 정확도를 높이기 위해 원주율 계산에 매달렸어요. 480년경 정2만 4576각형을 이용해 원주율이 3.1415920과 3.1415927 사이에 존재하는 것을 알아냈습니다. 세계 최초로 소수점 아래 6번째 자릿수까지 원주율을 구한 것이었습니다. 3.141592는 1969년 인류가 처음 달에 가기 위한 아폴로 계획을 수행할 때 계산에 적용한 원주율이며, 현대 공학 계산에서 널리 활용하는 정밀한 값입니다. 동양의 수학이 서양에 결코 밀지지 않았던 겁니다.

 중국에서 전해진 수학을 바탕으로 중세 이전 가장 정확한 원주율을 찾은 사람은 아라비아(현재 중동) 지역의 수학자 잠시드 알 카시입니다. 태어난 시기는 알려지지 않았으며, 1436년에 사망한 알 카시는 정8억 530만 6368각형을 이용해 원주율의 소수점 아래 14번째 자릿수까지 정확하게 맞혔습니다. 1500년대 후반에 이르기까지 어떤 수학자도 알 카시가 구한 것보다 더 정확한 값을 제시하지 못했죠.