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아래 눈조각을 보세요. 갸냘픈 다리로 어떻게 버티고 있는 걸까요? 이 조각은 ‘코스타 극소곡면’을 본떠 만들었어요. 그래서 무거운 눈덩이를 안정적으로 버틸 수 있는 거예요. 극소곡면은 쉽게 말해 철사로 어떤 모양을 만들어 비눗물에 담궜다 꺼내면 생기는 넓이가 최소인 막이에요.
극소곡면은 아주 안정적인 곡면이에요. 곡선이나 곡면에서 가장 중요한 건 ‘얼마나 휘어있는가’인데, 수학에서는 이를 ‘곡률’이라는 개념으로 측정하지요. 곡면의 곡률은 가장 많이 휜 부분과 가장 적게 휜 부분을 찾아 각각의 곡률을 구한 뒤 이 둘의 평균을 구해서 측정해요. 극소곡면은 이 평균곡률이 0이에요. 이는 곡면 위의 모든 점에서 대칭성이 있다는 뜻이에요. 즉 밀거나 당기는 힘이 각 점에서 잘 조화돼 있기 때문에 안정적이지요. 그래서 위 눈조각은 안정적으로 서 있을 수 있는 거예요.
도넛의 표면에 바늘로 점을 3개 콕콕 찍으면 코스타 극소곡면을 만들 수 있어요. 상상이 안 되나요? 우선 위 그림을 봐요. 원의 한 부분을 콕 찔러 점을 만들어요. 그 점에서 반대편에 있는 점 위에 접선을 그리고, 원 위의 나머지 점을 이 선에 1:1로 대응시키면 모든 점이 대응돼요. 점을 빼지 않았다면 불가능해요. 점을 빼면 자유도가 생겨서 끝없이 쭉쭉 늘어뜨릴 수 있는거예요. 같은 식으로 점 3개를 찍은 도넛은 코스타 극소곡면이 돼요. 어렵다고요? 상상해 보세요!
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