d라이브러리

“작은 응집물질 안에 우주가 있는 거예요.
작은 우주가.”

응집물질물리 이론가인 김기석 포스텍 물리학과 교수는 양자물질이 물질에 대한 관점을 어떻게 바꿨느냐는 질문에 이렇게 말했다.

양자역학이 등장한 이후 물리학은 입자물리학과 응집물질물리학으로 갈라졌다. 서로 다른 언어를 쓰는 것은 아니지만, 둘 사이에는 간극이 있었다. 우주를 구성하는 입자를 찾고 그들이 상호작용하는 원리를 탐구하는 쪽과, 고체와 액체 등 눈에 보이고 손으로 만질 수 있는 물질 속에서 일어나는 현상을 탐구하는 사람들은 굳이 교류할 이유가 없었다.

하지만 이제 사정이 바뀌었다. 두 분야의 학자들이 양자물질을 중심으로 모여들고 있다. 응집물질물리학자들의 연구가 입자물리학의 난제를 풀고, 입자물리학자들의 연구가 응집물질물리학에 활용된다. 2파트에서 살펴본 것처럼, 응집물질 속에서 나타나는 전자의 기묘한 흉내 내기가 그 중심에 있다.

응집물질물리학자들은 양자물질 안에서 쿼크와 디랙 입자, 심지어 입자물리학자들이 찾아 헤매는 암흑물질이나 이론적인 가능성으로만 존재하는 웜홀까지도 만들 수 있다고 말한다. 무슨 뚱딴지냐고? 물론 실제는 아니다(또 뭔 소리?). 수학적으로 똑같은 현상이 나타난다는 뜻이다. 비유하자면, 전자들이 응집물질이라는 무대에서 입자물리학의 모든 배역을 나눠 맡아 우주라는 연극을 재현한다는 말이다.

바일 준금속에 생기는 기묘한 현상
바일 준금속은 금속성과 절연성을 둘 다 가지고 있는 독특한 물질이다.
특히 표면에서 전자의 운동량이 특정한 값을 가지면 바일 입자가 물질 내부로 들어가
반대편 표면에 나타나는데, 스핀이 반대로 변한다.

이 전자는 표면에서 아치 모양의 경로(페르미 호)를 따라 이동하면서 다시 원래의 스핀으로 변하고,
같은 과정을 한 번 더 거쳐 본래 상태로 돌아온다.
 

양자물질 속 웜홀 여행하는 전자
1929년, 독일 수학자 헤르만 바일은 디랙방정식을 풀면서 ‘바일 페르미온’이라는 입자 분류군을 제안했다. 비록 발견되지는 않았지만, 이 입자는 양자역학을 토대로 우주를 설명하는 입자물리학 이론인 ‘표준모형’에서 한 축을 차지하고 있다.

바일 입자의 특징은 빛처럼 질량이 없고 전하를 띤다는 점이다. 이론적으로는 전자 하나가 두 개의 바일 입자로 쪼개질 수 있고, 그 반대도 가능하다. 한때 물리학자들은 바일 입자의 유력한 후보로 중성미자를 손꼽았지만, 중성미자 역시 질량을 갖고 있다는 것이 밝혀지면서 자연의 기본 입자 중에는 바일 입자가 없는 것처럼 보였다.

그러던 2015년, 응집물질 속에서 바일 입자가 나왔다. 물론 전자의 흉내 내기였다. 미국 프린스턴대 물리학과 자히드 하산 교수팀은 비소화탄탈럼(TaAs)이라는 응집물질에서, 수학적으로 바일 입자가 나타내는 현상이 일어나는 것을 실험으로 확인했다(doi:10.1126/science.aaa9297). 놀랍게도 그 현상은 우주론에서 말하는 ‘웜홀’에 비유할 수 있는 현상이었다.

한정훈 성균관대 물리학과 교수에 따르면, 하산 교수팀의 실험은 이렇다. 우선 2파트에서 언급한 빨간 입자와 파란 입자를 다시 떠올려 보자. 바일 입자는 두 종류의 색깔이 있는 상대론적 입자다. 빨간색 바일입자와 파란색 바일 입자가 있다. 고체 내부에는 파란 바일 입자 개수와 빨간 바일입자 개수가 동일해야 한다.

디랙 입자를 다룰 때처럼, 상대론적 입자인 바일 입자를 수학적으로 기술하려면 파동벡터 공간에서 생각해야 한다. 파란색 바일 입자와 빨간색 바일 입자는 각각 파동백터 공간에서 서로 떨어져 살고 있다. 빨간색은 빨간색끼리, 파란색은 파란색 입자끼리 유유상종하며 옹기종기 모여 산다. 한교수는 “빨간색 바일의 영토와 파란색 바일의 영토는 말하자면 매우 멀리 떨어진 우주”라고 표현했다.

“두 우주는 서로 소통이 어려운 것처럼 보입니다. 하지만 우주에 웜홀이 있어 먼 우주 사이의 여행이 가능하다는 가설이 있어요. 하산 교수팀의 실험은 빨간 바일과 파란 바일의 우주도 일종의 웜홀로 연결돼 있다는 것을 확인한 겁니다. 빨간 바일은 바일물질의 껍질로 이동하고, 껍질에 존재하는 ‘페르미 호’라는 구조를 통해 파란 바일의 우주로 이동한 뒤, 파란색 여권을 발급받아 파란 바일 세계에 정착합니다. 즉 파란 바일이 되는 거죠. 껍질에 비밀통로가 존재하는 줄 모르고 있던 빨간 바일 왕국은 국민의 숫자가 줄었다고 한바탕 난리를 겪겠죠. 양자장론에서 말하는 ‘비정상’ 현상입니다.

하지만 빨간 왕국에서 사라진 바일은 파란 왕국에 반드시 그 모습을 드러냅니다. 두 왕국의 시민 숫자를 합하면 항상 보존되죠. 비정상은 애초부터 없었어요. 위상수학적 이유 때문에 빨간 바일과 파란 바일은 항상 동일한 숫자로 존재하거든요. 그 둘이 딱 붙어 있으면 디랙 입자가 되고, 떨어져 있으면 바일입니다. 설령 떨어져 있어도 그 둘 사이에는 웜홀이란 연결 고리가 존재합니다. 이론 응집물질물리학자들은 웜홀 대신 페르미 호라는 우아한 이름을 붙였지요.”


양자물질 속에서 만난 응집물리와 입자물리
응집물질 안에 우주가 있다는 말은, 우주를 설명하는 수학과 작은 물질 속을 설명하는 수학이 다르지 않다는 뜻이다.

이전에도 두 분야의 교류가 있었다. 노벨 물리학상을 수상한 입자물리학자 피터 힉스가 저온초전도체를 설명하는 BCS이론에서 힉스 매커니즘의 아이디어를 얻었다. 하지만 이제 응집물질물리학자들과 입자물리학자들은 훨씬 적극적으로 서로의 영역을 넘나들고 있다. 김기석 교수는 “지금 최전선에 있는 이론물리학자들에게는 경계가 없다”며 “서로의 영역을 배우고 적용하느라 정신없이 바쁜 상황”이라고 말했다.

2009년에는 두 분야의 만남이 주목할만한 성과를 낳았다. 화학의 주기율표에 비견되는, ‘양자물질 주기율표’가 탄생한 것이다. 미국 캘리포니아공대(칼텍) 물리학과 알렉세이 키타예프 교수는 입자물리학의 끈 이론에서 활용하는 수학적 분류법을 도입해 모든 종류의 절연체를 분류하는 표를 만들었다(doi:10.1063/1.3149495). 이름하여 ‘키타예프 주기율표’다.
 

키타예프 주기율표,
어떻게 만들었나

키타예프 주기율표는 전자들의 상호작용이 약한 절연체와 초전도체만을 분류한다. 아직 발견되지 않은 양자물질을 예측한다는 점에서 미지의 원소를 예측하는 주기율표와 유사하다.

키타예프 주기율표를 이해하려면 우선 ‘양자역학을 푼다’는 것을 이해해야 한다. 양자물질을 예측하고 분류하는 것은 슈뢰딩거방정식(아래 보라색 수식)을 풀어서 해를 구한다는 뜻이다. 중고등학교 수준에서 배우는 방정식의 해는 복소수 형태의 간단한 숫자로 주어지지만, 슈뢰딩거방정식의 해는 시간과 공간의 복잡한 함수다. 해가 무수히 많을 수 있다는 뜻이지만, 물리적으로는 물질속의 전자가 가질 수 있는 에너지 상태(에너지 띠)가 어떻게 분포하는지를 나타낸다.

슈뢰딩거방정식은 일종의 행렬식인 해밀토니안(H)으로 표현된다. 이 행렬식을 푸는 것이 입자의 에너지 띠를 찾는 과정의 핵심인데, 행렬식의 성분을 1행 1열, 2행 2열 등 대각선 방향으로 정리하는 것을 말한다. 이때 대각선 방향의 성분을 제외한 모든 성분은 0이 돼 전자의 에너지 고유값과 고유 양자 상태를 얻게 된다. 이를 ‘대각화’라고 부른다.

하지만 슈뢰딩거방정식의 해밀토니안 행렬은 크기가 너무 커서 한 번에 대각화하기가 어렵다. 그래서 대칭성이라는 개념을 이용해 구역별로 쪼개 대각화한다. 대칭성은 쉽게 말해 변환했을 때 상태가 달라지지 않는 것을 말한다. 예컨대 원에 있는 모든 점은 회전변환해도 원 위에 있다. 하지만 사각형 위에 있는 점들은 그렇지 않다. 

원은 회전변환에 대해 대칭성이 크고 사각형은 대칭성이 작다. 이를 수학적으로 표현하면, 어떤 집합에 있는 원소들이 특정한 연산(변환)에 대해 닫혀 있다는 뜻이다.

닫혀 있다는 말은 연산을 했을 때 나오는 값이 집합에 포함된 원소를 벗어나지 않는다는 말이다. 회전처럼 연속적인 값을 가질 수 있는 변환을 연속변환, 전하처럼 + 또는 -로만 변환할 수 있는 것을 불연속변환이라고 부른다.

대칭성이 유지되는 한도 내에서 회전 등의 다양한 연속변환을 이용해서 행렬을 구역별로 대각화하면, 더 이상 대각화할 수 없는 단계(irreducible block)에 이른다.

이때 남아 있는 구역이 전자가 차지할 수 있는 에너지 띠를 결정한다. 결국 최소 단위의 행렬 블록이 몇 가지 종류인지를 알아내는 것은 물질의 종류를 분류하는 작업이 된다.

키타예프 주기율표는 불연속변환에 대해 남아 있는 최소 단위의 행렬 블록이 대칭성을 가지고 있는지를 기준으로 물질을 분류한다. 즉 시간 반전(T를 -T로)과 전하 반전(+를 -로), 비대칭 반전(좌우를 바꾼 뒤 반전하는 패리티 반전)을 이용해서 변환했을 때 대칭성을 갖는지 알아보는 것이다.

시간과 전하, 비대칭 반전에 대한 대칭성은 입자물리학에서 많이 쓰는 기법이다.


새로운 게임, ‘양자물질 테이블’을 채워라​
양자물질과 키타예프 주기율표의 등장은 물리학자들 사이에 새로운 패러다임을 제시했다. 과거 응집물질물리학 연구가 특정한 현상을 발견한 뒤 그 현상을 설명하는 방식으로 진행돼 왔다면, 이제는 물질을 예측하고 실험적으로 찾아내는 방식으로 전개되고 있다. 예컨대 초전도나 양자 홀 효과 등의 굵직한 발견은 모두 의도치 않은 상황에서 일어났다. 하지만 그래핀이나 위상절연체, 바일 입자 등은 이론적인 예측을 토대로 발견됐다.

현재 가장 활발하게 찾고 있는 양자물질은 뭘까. 김기석 교수는 단연 ‘위상초전도체’를 꼽았다. 그는 “위상초전도체의 한 가지 예로 3차원 D 그룹에 속하는 헬륨-3의 B상태는 위상적으로 특별한 초유체 상태”라며 “표면에서 전자들이 마요라나 페르미온이라는 입자와 동일한 상태를 만들 거라고 예상한다”고 말했다.

마요라나 페르미온은 디랙 입자나 바일 입자처럼 디랙 방정식의 해로 주어지는 입자 중 하나다. 특히 마요라나 페르미온은 입자와 반입자가 동일하다는 성질이 있어 양자컴퓨터를 구현할 수 있는 매체로 손꼽힌다(2017년 1월호 참고).

이제 응집물질물리학자들은 새로운 양자물질을 예측하고 찾는 ‘헌터’가 돼서 재빠르게 움직이고 있다. 한 발이라도 먼저 새로운 양자물질을 찾기 위해 입자물리학과 끈 이론 등 경계를 넘나들고 있다. 그 덕분에, ‘통합’이라고 하면 전자기력과 강력, 약력, 중력을 통일하는 이론만 떠올리던 물리학자들이 전혀 상상하지 못했던, 두 물리학이 통합되는 현장에 서게 됐다.

 

+더 읽을거리
in 과학동아 31년 기사 디라이브러리(정기독자 무료)
‘은둔의 물리학자가 발견한 비밀 입자, 마요라나 페르미온’ (2017.1)
dl.dongascience.com/magazine/view/S201701N054