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구글과 내시 균형은 고정점 정리 덕분~
고정점 정리는 어떤 방정식의 해가 정확히 한 개 이상 있다는 사실을 증명할 때 쓴다. 구글 검색 엔진의 이론적 배경인 ‘페론-프로베니우스 정리’는 브라우어르의 고정점 정리 덕분에 증명된 대표 사례다.

구글에 검색어를 입력하면 검색어를 포함한 페이지 중에 실제로 영향력이 큰 페이지를 먼저 볼 수 있다. 중요한 문서를 골라내는 알고리즘인 ‘페이지랭크’ 덕분인데, 페이지랭크 이전에는 단순히 검색어가 가장 여러 번 나오는 순서대로 페이지를 볼 수 있었다.

페이지의 영향력을 구할 때 컴퓨터는 거대한 행렬을 포함한 계산을 거쳐 ‘고유치’라 부르는 해를 구해야 한다. 이 해가 언제나 존재한다는 사실은 바로 페론-프로베니우스 정리 덕분에 증명됐다. 해가 분명히 있다는 것을 알기 때문에 해를 구하기 위해 복잡한 계산도 시도할 수 있다.

1994년에 게임이론에 관한 업적으로 노벨경제학상을 받은 존 내시도 브라우어르의 고정점 정리의 가치를 알았다. 내시는 게임에 균형점이 있다는 사실을 증명하기 위해 브라우어르의 고정점 정리를 활용했다.

기하학에 날개를 달다
도넛과 물컵부터 털 난 공의 정리까지, 위상수학의 연구 주제는 도형과 관련된 것이 많다. 도형은 모양이 조금만 변해도 표면 곳곳의 성질이 바뀌지만 위상수학은 그럼에도 절대 변하지 않는 고유한 값을 연구한다. 따라서 도형의 성질을 다루는 기하학은 위상수학과 떼려야 뗄 수 없는 사이다.

‘가우스-보네 정리’는 기하학과 위상수학을 잇는 이론 중 하나다. 이 정리에 따르면 입체도형의 표면 곳곳이 휘어진 정도를 나타내는 가우스 곡률을 곡면 위에서 적분한 값은 그 도형의 오일러 지표와 같다.

도형의 기하학적인 값인 가우스 곡률은 도형의 모양에 따라 쉽게 바뀌지만 위상수학적인 값인 오일러 지표는 그대로다.

모양을 조금 바꾸더라도 변하지 않는 값이 있으면 이 값을 보고 여러 가지 도형과 공간이 서로 같은지 다른지를 비교할 수 있다. 오일러 지표가 복잡한 공간의 성질을 알려주는 셈이다. 최수영 아주대학교 수학과 교수는 “위상수학은 공간의 특징을 써서 난해한 수학 문제를 증명할 수 있음을 보여주는 멋진 학문”이라고 말했다.