d라이브러리

2 무조건 이기는 경우 찾기

무조건 이기게 되는 경우가 있을까? 이를 따져보자. 1×1 초콜릿을 갖게 되면 무조건 진다. 그런데 이 말은 1×n(또는 n×1, n＞1) 초콜릿을 받아 쪼갤 수 있다면 무조건 이긴다는 소리다. 초콜릿을 쪼개 1×1 초콜릿을 상대방에게 줄 수 있기 때문이다.

2×2 초콜릿을 받으면 어떨까? 2×1(또는 1×2) 초콜릿을 상대방에 주게 돼 무조건 진다. 따라서 무조건 이기려면 2×n(또는 n×2, n＞2) 초콜릿을 받아 상대방에게 2×2 초콜릿을 주면된다. 앞에서 3×3 초콜릿을 받은 A가 유일하게 이긴 경우는 B가 필승 전략인 2×2 초콜릿으로 잘라 상대방에게 넘기지 않았을 때다. 즉 실수를 했을 때다. 결국 상대방이 실수하지 않는다는 가정 아래에서 3×3 초콜릿도 받으면 무조건 지게 되니까 3×n(또는 n×3, n＞3) 초콜릿이 오면 무조건 이긴다.


3 귀납적 추론하기​

지금까지 밝혀진 바에 의하면 무조건 이기게 되는 경우는 1×1, 2×2, 3×3 초콜릿으로 잘라 넘길 때다. 규칙에 의해 4×4초콜릿도 무조건 이기게 되지 않을까? 경우를 따져보면 바로 무조건 이기게 된다는 걸 알 수 있다.

이로부터 무조건 이기게 되는 경우가 n×n밖에 없다고 추측할 수 있다. 따라서 초콜릿을 n×n 정사각형으로 잘라 상대방에게 넘기면 무조건 이긴다.

퍼즐 풀면 수학 실력 는다!
수학자나 되니까 퍼즐도 수학 문제처럼 푸는 거라고 생각할 수 있다. 그렇다면 평범한 사람과는 상관 없는 얘기가 아닐까? 방승진 아주대학교 수학과 교수는 “퍼즐을 풀기만 해도 수학 실력이 오를 수 있다”고 주장했다. 퍼즐을 풀기 위해 다방면으로 생각하면 머리가 좋아지고 수학 실력이 오른다는 뜻이다. 반면 아무리 애를 써도 수학 실력이 제자리인 이유는 “유형별로 반복적인 계산만 반복하기 때 ”이라고 꼬집었다. 반복학습으로는 머리를 많이 쓰지 않아 어려운 문제를 풀 힘을 기를 수 없다는 설명이다.

실제로 방 교수는 집안 형편이 어려워 초등학교 2학년부터 5학년까지 약 3년간 학교를 다니지 않았다. 그렇다고 집에서 공부했던 것도 아니다. 자연을 벗 삼아 뛰어놀거나 신문이나 잡지에 실린 퍼즐과 바둑책을 보는 게 전부였다. 하지만 3년 뒤 학교에 돌아갔을 때 수학 공부를 따라가는 것이 그리 어렵지 않았다. 바둑과 퍼즐로 문제를 해결하는 힘을 길렀기 때문이다.

특히 바둑의 ‘복기’가 생각하는 힘을 기르는 데 큰 도움이 됐다고 한다. 복기란 게임이 끝나고 실수한 데는 없는지, 돌을 다르게 뒀더라면 결과가 어떻게 달라졌을지 알아보기 위해 처음부터 돌을 다시 놓는 것이다. 방 교수는 “퍼즐과 수학 문제를 풀 때도 복기처럼 반성적 사고를 하는 것이 중요하다”며, “끊임없이 질문하면서 생각해야 문제해결력이 생긴다”고 밝혔다.


퍼즐을 수학문제로 바꾼다면 수학 영재!
사실 누구나 타오처럼 퍼즐을 푸는 데 수학적 전략을 세울 수 있는 건 아니다. 그런 능력을 갖췄다면 수학자가 될 자질이 있다고 전문가들은 여긴다. 그래서 방 교수는 제2회 민족사관고등학교 입시 문제로 악마의 퍼즐을 출제했다.

그 배경에는 재미있는 이야기가 있다. 지금은 미국 매사추세츠공과대학교에서 수학을 가르치고 있는 신석우 교수가 당시에는 고등학생 수학영재였다. 어렵기로 악명이 높은 악마의 퍼즐을 신 교수가 30분 만에 풀었다는 소식에 방 교수는 갑기가 승부욕이 발동했다. 이 기록을 깨고 싶었던 것이다.

하지만 실패했고, 그 대신 수학적 성질을 찾기로 마음먹었다. 그 결과 무리수 상등★이라는 성질을 이용해 악마의 퍼즐을 만들 수 있는 직사각형 모양이 단 하나라는 걸 알아냈고, 이를 토대로 민족사관고 입시 문제를 만들었다.

무리수 상등★ 두 무리수가 같기 위해서는 유리수는 유리수 부분끼리, 무리수는 무리수 부분끼리 같아야 한다는 조건.

방 교수는 “답을 보면 쉬워도 막상 풀려고 하면 답을 찾기 어려운 문제였다”면서, “퍼즐에서 누구나 발견할 수 있는 수학적 성질을 찾다보면 남들은 찾지 못하는 성질까지 발견하게 된다”고 말했다. 덧붙여 “수학을 잘하고 싶다면 퍼즐을 즐기고, 한 걸음 더 나아가 수학 문제로 영역을 확장하는 연습을 하라”고 조언했다.