d라이브러리 2011년 12월 수학동아

자, 이제 스마트폰 때문에 사용자가 크게 늘어난 *SNS 얘기를 해 볼까요? 스마트폰하면 SNS를 빼놓을수 없잖아요. 페이스북, 트위터 등의 SNS 덕분에 멀리 있는 친구 소식도 실시간으로 알 수 있지요. 그런데 아시나요? SNS의 밑거름에 수학이 있다는 사실!

그래프에서 시작한 네트워크

페이스북, 인터넷, 신경세포의 공통점은 뭘까? 정답은 모두‘네트워크’와 관련이 있다는 점이다. 페이스북은 전세계 사람들이 온라인으로 친구를 사귀며 인맥을 만드는 소셜 네트워크 서비스 중 하나다.또 인터넷은 전세계 사람을 컴퓨터와 전화선으로 연결한다. 신경세포는 무수히 많은 신경세포가 복잡한 그물 모양으로 연결돼 있다. 세 가지 모두 분야는 다르지만 복잡한 구조를 뜻하는 네트워크로 이뤄진 것이다.

네트워크는 어디서 시작했을까? 그 뿌리는 수학의 한 분야인 그래프 이론에서 시작한다. 여기서 그래프란 수식을 좌표평면 위에 직선이나 곡선으로 나타내는 그래프와는 조금 다르다. 그래프 이론의 그래프는 점과 선으로 그린 모든 그림을 뜻한다.

① 오일러에 의해 탄생한 그래프 이론

1736년 오일러는 그가 살던 동네의 다리를 건너는 문제를 풀기 위해 그래프 이론을 만들었다. 지나
가야 하는 곳을 점으로, 다리를 선으로 생각해 문제를 해결한 것이다.

② 헝가리의 두 수학자, 네트워크를 연구하다

20세기에 들어서자, 컴퓨터를 사용하면서 복잡한 그래프 연구가 필요해졌다. 1950년대 헝가리의 수학자인 폴 에르되스와 알프레드 레니가 최초로 네트워크 연구를 시작했다.

③ 다양한 분야에서 쓰이고 있는 네트워크 이론

현재 네트워크 이론은 사회 구조나 인간관계를 연구하는 사회학과 인터넷 네트워크를 연구하는 전산분야를 넘어, 면역체계나 신경세포를 연구하는 생물학까지 다양한 분야에서 쓰이고 있다.

누구라도 6단계면 연결된다?!

페이스북에서 친구를 맺으면 친구의 친구와도 쉽게 인맥을 맺을 수 있다. 이렇게‘친구 맺기’로 연결된 사람들의 인맥이 커다란 네트워크를 이룬다. 인터넷이 컴퓨터와 전화선으로 전세계 사람들을 연결하는 기계적인 네트워크를 만들었다면, SNS는 인터넷보다 좀 더 직접적인 사람과 사람의 관계를 연결하는 네트워크를 만든다. 따라서 SNS를 이용하면 연락이 끊긴 친구도 친구의 친구를 통해 찾을 수 있다.

그렇다면 잘 알지 못하는 특정한 사람을 찾으려면 몇 단계를 거쳐야 할까? 이 질문에 해답을 찾기 위해, 40년 전 실험을 한 사람이 있다. 하버드 대학 심리학과 교수였던 스탠리 밀그램이다. 그는 서로 모르는 두 사람 사이의 거리를 알기 위해 미국의 한 지역 사람들을 대상으로 실험을 했다.

밀그램은 먼저 목표인물 A를 정했다. 그리고 A에 도달하기 위해 지역 사람들 중 무작위로 160명을 선택해, A를 향해 편지를 쓰게 했다. A를 직접 안다면 바로 편지를 보내고, 만약 모른다면 A를 알 것 같은 자신의 지인에게 편지를 쓰도록 했다. 실험 결과 160통의 편지 중 42통이 A에게 도착했다. 그리고 42통의 편지를 분석한 결과 가장 짧게는 2명, 가장 길게는 12명을 거쳐 목표인물 A에게 도착했다.중간 사람의 수를 모두 계산해 봤더니, 중간 단계 사람 수의 *중앙값은 5.5명이었다. 이 숫자를 반올림해 6이라는 숫자를 만들어 발표한 이론이‘여섯 단계의 분리 이론’이다. 이 이론에 따르면 어떤 사람도 6단계만 거치면 알 수 있다.

스탠리 밀그램의 실험

수학에서 쓰이는 2가지 그래프

수학에서 그래프는 2가지가 있다. 하나는 그림 ❶과 같이 식을 만족하는 점을 모두 좌표평면에 나타낸 것이고, 두 번째는 그래프 이론의 그래프다. 그래프 이론에서 그래프는 그림❷와 같이 점과 선으로 그린 그림을 뜻한다. 구조를 연구하는 수학의 한 분야에서 쓰인다.

수학에서 쓰이는 2가지 그래프

여섯 단계 분리, SNS로 실험하다

어떤 두 사람을 선택해도, 그 사이에 필요한 사람은 평균적으로 6명이라는 여섯 단계 분리 이론의 결과는 매우 신선했다. 미국의 오바마 대통령과 한국에 사는 중학생, 유럽에 사는 어린이와 아마존에 사는 원주민도 6단계면 충분히 연결된 뜻이기 때문이다.

그러나 사회학자들은 여섯 단계 분리 실험이 작은 모집단을 대상으로 했다는 이유로 이 이론을 완전히 받아들이지 않았다. 그래서 여러 사회학자와 심리학자들은 여섯 단계 분리 이론을 확인하기 위해 다시 실험을 했다. 사람 수를 더 많게, 그리고 편지가 아닌 다른 매체를 이용하면 다른 결과가 나올 수도 있다고 생각했기 때문이다.

실제로 2008년 마이크로소프트사는 전 세계 사람들이 가장 많이 사용하는 메신저인 MSN을 이용해 여섯 단계 분리 이론을 확인하는 실험을 했다. 무려 1억 8000명의 사람들이 나눈 300억 개의 메시지를 분석한 결과, 평균적으로 6.6단계를 거치면 임의의 두 사람을 연결할 수 있다는 결과가 나왔다. 그래서 연구팀은 6.6에 반올림을 해 MSN 메신저를 이용하면‘일곱 단계 분리’를 만족한다는 결론을 내렸다.

한편 올 여름부터 SNS의 대표주자인 페이스북을 이용해 여섯 단계 분리 확인하는 실험이 진행되고 있다. 페이스북의 가입자는 무려 7억 5000만 명이고, 사용자들은 평균적으로 130명의 친구가 있다고 한다. 누구나 페이스북에 가입하면 이 실험에 참여할 수 있다.

페이스북으로 여섯 단계 분리 실험에 참여하는 방법

페이스북으로 여섯 단계 분리 실험에 참여하는 방법❶❷

❶ 인터넷으로 페이스북에 가입된 회원이면 누구나 참여할 수 있다. smallworld.sandbox.yahoo.com에 접속한다.
❷ 화면에 메시지를 보낼 목표 인물을 보여 준다. 기자가 로그인하고 실험을 신청한 결과, 목표인물은 로마에 사는 30세 여성이었다.

페이스북으로 여섯 단계 분리 실험에 참여하는 방법❸❹

❸ 여러 명의 친구 중에 목표인물을 알 것 같은 가장 가까운 사람을 선택한다. 기자는 Amy Yoon이라는 친구를 선택했다.
❹ Amy Yoon에게 메시지가 전달된다. Amy Yoon은 같은 방법으로 목표인물을 향해 메시지를 보낸다.

SNS 네트워크는 항공노선과 같다!

그렇다면 전세계 대부분의 사람이 사용하는 인터넷이나 7억 명의 사람이 즐기는 SNS 네트워크는 어떻게 만들어지고, 어떤 모양으로 생겼을까?

1999년 미국 노트르담 대학의 물리학과 알버트 라즐로 바라바시 교수와 KAIST 물리학과 정하웅 교수는 인터넷 네트워크가 어떻게 생겼는지 알기 위한 실험을 했다. 인터넷을 자동으로 돌아다니며 정보를 모으는‘크롤러’라는 프로그램을 만들어 인터넷을 연결하는 네트워크 지도를 얻은 것이다. 이 지도를 통해 인터넷 웹페이지가 어떤 웹페이지와 연결돼 있는지 한 눈에 알 수 있었다.

결과는 매우 충격적이었다. 연구를 시작할 때까지만 해도 폴 에르되시와 알프레드 레니의 주장대로 네트워크는 무작위로 만들어진다는 이론이 지배적이었다. 그러나 실험 결과 인터넷이나 SNS 네트워크는 무작위로 만든 모양이 아니었다.

대부분의 네트워크는 멱함수라는 분포를 따르고 있었는다. 무작위로 만든 네트워크가 연결선이 골고루 있는 고속도로라면, 인터넷이나 SNS 네트워크는 연결선이 고르지 않은 항공노선과 비슷하다.

네트워크의 두 가지, 고속도로 vs 항공노선

고속도로에서 각 지역을 점이라 하고, 고속도로를 연결선이라 생각하자. 고속도로의 지역들은 대부분비슷한 숫자만큼 고속도로와 연결돼 있어 그림❶과 같은 종모양의 정규분포를 따른다. 그러나 항공노선은 같은 공항이라 하더라도, 특정 공항에는 연결 노선의 개수가 다른 공항에 비해 월등히 많기도 하다. 그 결과 그림❷와 같이 멱함수 분포를 따른다. 과거에는 네트워크가 모두 고속도로 형태라고 생각했지만, 연구를 통해 인터넷이나 SNS 네트워크는 모두 멱함수 분포를 따른다는 것을 알게 됐다.

네트워크의 두 가지, 고속도로 vs 항공노선

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Part 4. 전세계 네트워크, SNS로 통한다!