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흑백 게임 결승전이 펼쳐지고 있는 수학동아 특설 경기장입니다. 흑백 게임은 앞은 흑, 뒤는 백인 돌이 일정한 크기의 판 위에 앞, 뒤 상관없이 무작위로 놓여 있을 때, 돌을 뒤집어 한 가지 색으로 바꾸면 끝나는 게임입니다. 그런데 하나의 돌을 뒤집으면 그 주위 위, 아래, 좌, 우 돌을 모두 뒤집어야 합니다.

이번 대회에서는 게임기를 사용해 진행되기 때문에 돌을 누르면 위, 아래, 좌, 우 돌이 자동으로 뒤집혀 흑백의 색이 바뀝니다. 얼핏 보면 단순한 게임으로 보이지만 이기는 방법을 찾기 위해 많은 수학자가 연구한 것으로 알려져 있습니다.

예선전 결과 8명의 선수가 올라와 있고 빅뱅의 탑 선수가 가장 유력한 우승후보 입니다. 네~, 지금 막경기가 시작됐습니다. 8명의 선수들은 돌을 이리저리 뒤집으면서 경기에 집중하고 있습니다. 예선전 1위였던 탑 선수는 자신만의 승리비법이 적힌 종이를 가지고 경기에 참석했는데, 결승전 역시도 종이를 가지고 있네요. 이번 대회에서는 가장 빨리 게임을 끝낸 선수가 금메달을 차지하게 됩니다. 말씀드리는 순간, 탑 선수 벌써 게임을 끝낸 것 같습니다. 1분 30초, 정말 대단한 기록입니다!
 

다른 선수들 허탈하겠는데요. 대체 탑 선수에겐 어떤 비법이 있기에 엄청난 기록을 세운 걸까요? 탑 선수를 직접 만나 보도록 하겠습니다.

탑 선수, 어떻게 해서 이렇게 빨리 게임을 마칠 수 있었나요?

저는 모든 돌을 흑으로 만들기로 결정했습니다. 먼저 첫줄을 모두 흑으로 만들기 위해서 두 번째 줄의 돌을 이용하는데, 가장 먼저 ① 위치에 있는 돌을 뒤집었습니다. 당연히 ① 주위에 있는 위, 아래,좌, 우의 돌이 모두 뒤집혀 각 색이 바뀌었지요. 다음으로 ②와 ③을 뒤집어 첫 줄에 있는 돌을 흑으로바꿨습니다. 두 번째 줄은 세 번째 줄의 돌을 뒤집어 모두 흑으로 만들었고, 같은 방법으로 다섯 번째 줄까지 모든 돌을 뒤집었습니다.

결국 다섯 번째 줄에서 첫 번째와 세 번째, 네 번째 돌을 빼고 모두 흑이 됐지요.
 

마지막 다섯 번째 줄에서 흑은 0, 백은 1로 표현합니다. 그러면 10110이 되지요. 제가 가지고 있는 표에서 이 숫자가 어떤 유형에 해당하는지 찾습니다. 10110은 A 유형으로 한 가지 색으로 만들 수 있는 경우죠. B, C, D 유형은 게임에서 이길 수 있는 방법이 없습니다. 왜 그런지는 나중에 설명해 드리죠.

그리고 위의 표에서 10110에 해당하는 네 가지 중 한 가지를 골라 첫 번째 줄의 돌을 뒤집으면 됩니다. 다시 말하면 표에 있는 네모 칸 다섯개는 게임에서 첫 번째 줄을 나타내는데, √표시가 돼 있는 곳의 돌을 뒤집으라는 뜻입니다. 저는 가장 앞에 있는 것 (□□□□ [체크 괄호] )을 선택해 첫 번째 줄의 가장 마지막 돌을 뒤집었습니다.

그 뒤 처음에 했던 것처럼 첫 번째 줄부터 마지막 다섯 번째 줄까지 흑이 되도록 차례대로 돌을 뒤집었습니다. 그러자 모든 돌이 흑으로 변했지요. 어떻게 이런 방법을 알아냈냐고요? 제 승리비법은 우리나라 수학자 네 분이 만들어 주셨습니다. 성균관대 수학과 김덕선, 이상구 교수님과 순천대 수학교육과류창우, 송영무 교수님이 그 주인공이죠. 이 분들은 행렬을 이용해 승리비법을 만드셨습니다.
 

지금부터 교수님들이 만든 승리비법을 설명해 드릴게요. 주어진 게임에서 흑은 0, 백은 1로 표현합니다. 첫 번째 줄은 백, 흑, 흑, 백, 백이니까 1, 0, 0, 1, 1이고 이 같은 방법으로 두 번째 줄을 나타내면 0, 1, 0, 0, 0입니다. 마지막 줄까지 0과 1로 나타낸 뒤, 이것을 행렬로 나타냅니다. 행렬이란 많은수를 쉽게 곱하거나 더할 수 있도록 네모 모양으로 배열한 것으로 가로 줄을 열, 세로 줄을 행이라고 합니다.
 

행렬로 표시하려면 첫 번째 줄을 표시한 숫자를 반점 없이 순서대로 쓴 뒤, 두 번째 줄을 표시한 숫자를 첫 번째 줄에 맞추어 씁니다. 그러면 행렬 M이 되겠지요. 같은 방법으로 다섯 번째 줄까지 표현하면 행렬 N이 됩니다.

이 게임에서 이기려면 우리는 행렬 N와 변수 X를 곱했을 때 모든 값이 0이 나오거나 1이 나오는 변수 X를 찾아야 합니다. 저는 모두 흑이 되게 했으니까 NX=0이라는 문제를 푼 셈이죠.

교수님들은 게임 상황에 대한 모든 경우를 행렬로 나타내고, 동치관계를 이루는 행렬끼리 묶어 A, B, C, D 네 가지 유형으로 나눴습니다. 동치관계이면 변수 X의 해가 같기 때문이죠. 행렬에서는 서로 다른수로 구성된 두 행렬이 반사와 대칭, 추이 관계라고 불리는 세 가지 조건을 만족하면 서로 동치관계라고 합니다.

A 유형은 모두가 흑인 00000이 속하기 때문에 해가 존재합니다. 반대로 B, C, D 유형은 절대로 00000이 될 수 없기 때문에 해가 없습니다. 교수님은 A유형 8가지에 대해 어떻게 하면 00000이 되는지 행렬을 이용한 방정식으로 풀어 내셨고, 결국 흑백 게임에 대한 승리비법을 발견하신 겁니다.

✚흑백 게임을 연구하는 사람들

가로와 세로가 각각 5줄인 흑백게임 외에도 각각 3줄인 게임부터 19줄인 게임까지 승리비법이 밝혀져 있다. 처음에는 수학자가 단순히 게임의 승리비법을 밝히기 위해 연구했지만, 전기공급시스템과 전기회로 기판의 초기 설계, 영재교육에 활용되면서 공학자와 교육학자도 연구하고 있다.




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