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도형을 반복한 디자인

우리는 매일 길을 걸으면서 수학으로 만든 디자인을 만난다. 같은 도형을 반복해 바닥을 빈틈없이 채우고 있는 보도블록은 도형을 이용한 디자인의 대표적인 예다.

도형의 모양을 살펴보면 간단한 사각형부터 곡선으로 이뤄진 모양까지 그 종류도 다양하다. 모양이 복잡할수록 빈틈없이 채워진 모습이 마냥 신기하다. 이제 간단한 도형을 이용해 그 모양을 디자인해보자. 모양이 복잡하지 않더라도 배열을 달리하면 얼마든지 눈이 즐거운 디자인을 만들 수 있다.

그림①과 같이 정사각형 3개로 이뤄진 L자 모양의 도형이 있다. 이 도형 4개를 배열하면 그림②와 같이 좀 더 큰 L자 모양이 된다. 여기에 그림①의 L자 모양 5개를 더 배열하면 그림②보다 더 큰 L자 모양을 만들 수 있다. 마지막으로 기본 타일을 여러 색으로 각각 칠하면 도형을 반복해 만든 멋진 작품이 완성된다.
 

이뿐만이 아니다. 원에서 간단한 작도를 하면 곡선으로 이뤄진 타일을 만드는 것도 가능하다. 그림④처럼 사분원(원의 $\frac{1}{4}$)에서 원의 일부를 이용해 양 끝을 잘라내면 그림⑤와 같은 곡선 모양의 타일이 생긴다. 이 타일을 2개 이으면 그림⑥과 같은 꽃병 모양을 만들 수 있다. 이제 수학 예술가가 되기 위해 직접 실험을 해 보자
 

아하! 생각이 쑥쑥!
화가 에셔 따라잡기
 

오른쪽 작품은 1898년에 태어난 네덜란드의 화가 모리츠 에셔의 작품이다. 서로 다른 색깔의 새가 빈틈없이 채워진 모습이 신기하고 놀랍다. 에셔는 도형의 분할을 이용해 작품을 만든 화가로 유명하다.에셔의 작품과 같이 빈틈없이 채울 수 있는 타일을 만들려면 수학에서 쓰이는 평행, 대칭, 회전 이동이 필요하다.

이제 정삼각형을 변형한 새 타일을 만들어 보자. 먼저 그림①과 같이 선분 AB에 그린 곡선을 시계방향으로 60°만큼 회전 이동해 선분 BC 위에 그린다. 그런 다음, 그림②처럼 선분 AC의 중점 S에서 C까지 곡선을 그린다. 이어 그림③처럼 이 곡선을 시계 반대방향으로 180° 회전한다.
 

이렇게 정삼각형의 선분을 기준으로 곡선을 회전 이동하면 정삼각형과 넓이는 같지만 모양이 다른 새가 만들어진다. 여기에 날개와 눈을 다른 위치에 그리면 그림④와 그림⑤처럼 서로 다른 느낌의 새를 만들 수도 있다. 이렇게 기본 도형에 곡선을 이용해 조금만 변형해도 독특한 모양의 타일을 만들 수 있다. 수학적인 사고와 독창적인 아이디어로 수학 예술가에 도전해 보자.