앤드류 : 폴, 잠깐만! 가방에서 일엽쌍곡면만 좀 꺼내고.
폴 : 일엽…, 뭐?
앤드류 : 고베 포트타워의 외관이 일엽쌍곡면을 닮았거든. 그래서 하나 챙겨왔지.
아밀리 : 우와, 이거 실로 만들었네요. 선배, 저도 하나 만들어 주세요!
현대건축물에 새겨진 일엽쌍곡면
세계 최초 파이프 구조의 관광 타워인 일본 고베 포트타워와 600m 높이의 중국 광저우타워, 그리고 132년 동안 지어지고 있는 가우디의 걸작 사그라다 파밀리아의 공통점은 무엇일까? 바로 ‘일엽쌍곡면’을 찾을 수 있다는 점이다.
일본 고베 포트타워와 중국 광저우타워는 그 외관에, 사그라다 파밀리아는 창문과 천장에 일엽쌍곡면이 나타난다. 그렇다면 이들 건축물은 왜 일엽쌍곡면으로 지은 걸까? 그 이유는 타워를 일엽쌍곡면으로 지으면 적은 재료로 튼튼하게 설계할 수 있을 뿐만 아니라 그 모양도 아름답기 때문이다. 또한 스페인의 천재 건축가 안토니 가우디는 건물 안에 빛을 더 잘 들게 하기 위해서 사그라다 파밀리아의 천장과 창문을 일엽쌍곡면으로 설계했다.
일엽쌍곡면은 이차식 x²/a²+y²/b²-z²/c²=1을 3차원 좌표에서 나타낸 이차 곡면이다. xy평면에 평행인 평면으로 자르면 타원 또는 원이 되고, z축을 포함하는 평면으로 자르면 쌍곡선이 되는 특징을 갖고 있다. 또 xy, yz, xz 이렇게 세 평면에 관해 대칭이다.
일엽쌍곡면을 만드는 가장 쉬운 방법은 두 개의 원판 사이에 일정한 간격으로 선을 늘어뜨리는 것이다. 우선 선을 직선 형태로 늘어놓는데, 그러면 선들은 원기둥 모양을 이룬다. 이제 두 원판을 서로 반대방향으로 천천히 돌리면서 선의 모양을 관찰하면 된다. 그러면 그 모양이 원기둥에서 쌍곡면으로 바뀌는데, 정면에서 보면 쌍곡선으로 보인다. 이것이 바로 일엽쌍곡면이다.
이 상태에서 원판을 더 돌리면 원뿔 2개가 나타나고, 앞에서 관찰하면 직선 2개가 교차한 형태가 된다. 이때 이차식은 x²/a²+y²/b²-z²/c²=0의 형태가 되는데, 수학에서는 이를 ‘원추 표면’이라 부른다. 여기서 더 돌리면 원뿔 2개 사이가 벌어지면서 중간 부분이 꼬인 실로 연결되는데, 이 실만 없다면 ‘이엽쌍곡면’이 된다. 이때 이차식은 x²/a²+y²/b²-z²/c²=-1이다.
