좋은 문제를 만든 아르키메데스의 공을 높이 사 그가 죽은 후에도 내 곁에 남겨 뒀지. 그가 말한 대로 후대에 계속 연구가 됐기 때문이도다. 그런데 대체 펠의 방정식이 무엇이냐고? 지금부터 잘 들어보거라.
x2 - dy2 = 1을 ‘펠의 방정식’이라고 해요. x2 - dy2 = -1은 음의 펠의 방정식이라고 하지요. 우리에게는 다소 낯선 방정식이지만, 수의 성질을 연구하는 ‘정수론’을 연구하는 수학자에게는 유명한 방정식이에요. 고대 그리스부터 2400년이 넘게 연구되고 있으니까요.
펠의 방정식의 이름은 1759년 스위스 수학자 레온하르트 오일러가 붙였어요. 오일러는 이 방정식의 해법을 유럽에서 처음으로 찾은 사람이 영국 수학자 존 펠이라고 오해해 이 방정식을 펠의 방정식이라고 칭했는데, 워낙 유명한 수학자가 붙인 거라 펠의 방정식으로 이름이 굳어졌어요. 오일러가 착각한 수학자는 윌리엄 브롱커로 아래쪽에서 자세히 다룰게요.
펠의 방정식을 연구한 수학자들
수학자들은 x와 y의 값이 유한한 d가 음수일 때보다 x와 y의 값이 무한한 d가 양수인 펠의 방정식의 정수해에 관심을 가졌어요. 어떤 수학자가 정수해 연구에서 업적을 냈는지 알아볼게요.
1150년 인도 수학자 바스카라 2세는 d가 양수일 때 펠의 방정식의 정수해를 구하는 방법을 알아냈어요. 이를 ‘차크라발라법’이라고 불러요. 지금도 해가 여러 개인 부정 이차방정식을 풀 때 쓰이지요. 하지만 유럽 수학자들은 이 사실을 알지 못했고, 17세기가 돼서야 펠의 방정식을 푸는 방법을 다시 발견했어요. 바스카라 2세의 방정식이 될 수도 있었는데 정말 안타깝죠?
오일러가 착각한 수학자인 윌리엄 브롱커는 프랑스 수학자 피에르 드 페르마가 낸 도전과제인 펠의 방정식을 연구했고, 1658년경 해를 구하는 방법을 알아냈어요. 그는 평소 자신이 연구했던 ‘연분수’를 이용해 이 같은 결과를 얻었어요. 연분수는 분모가 정수와 분수의 합으로 연달아 표기되는 분수로 무리수에 최대한 가까운 유리수 근삿값을 구할 때도 쓰여요.
이탈리아 태생의 프랑스 수학자 조제프 루이 라그랑주는 차크라발라법이 펠의 방정식의 해법이라는 것을 증명했어요. 또 펠의 방정식에서 d가 제곱수가 아닌 양수일 때 무한히 많은 정수해를 가진다는 것을 증명했어요.
