어느새 2400년이란 시간이 지났구나. 하지만 아직 아무도 x2 - dy2 = -1의 정수해를 찾지 못하였다. 정말 안타깝더구나. 뭐라고? 최근 두 수학자가 음의 펠의 방정식의 정수해를 갖는 d 값의 빈도를 알아냈다고?
2022년 2월 오랫동안 풀리지 않았던 음의 펠의 방정식의 해를 갖는 d 값에 관한 비밀이 풀렸어요. 카를로 파가노 캐나다 컨커디어대학교 수학과 교수와 피터 코이만스 미국 미시간대학교 박사후연구원은 ‘스티븐하겐 추측’을 증명해 논문 사전 등록 사이트인 ‘아카이브’에 발표했어요.
오랫동안 음의 펠의 방정식은 펠의 방정식과 달리 정수해를 찾는 방법을 알아내지 못했습니다. 그러던 1990년대 초 피터 스티븐하겐 네덜란드 레이덴대학교 수학과 교수는 d가 제곱수가 아닌 양의 정수일 때 정수해를 갖는 d 값의 빈도가 약 58%라고 추측했는데요. 이게 바로 스티븐하겐 추측이고, 이번에 이 추측이 맞다는 것이 증명된 거예요. 예를 들어 d가 1에서 100일 때 58개의 d는 정수해를 가지고, 나머지 42개는 정수해를 가지지 않는다는 거지요.
진석호 중앙대학교 수학과 교수는 “방정식의 해를 구할 수 없을 때 해답의 실마리에 다가가기 위해 빈도를 찾는 문제로 바꿔서 푼다”며, “이렇게 풀면 기존에 알지 못했던 수학적 발견을 할 때도 있다”고 이번 연구의 의미를 설명했어요. 이정인 고등과학원 수학부 연구원은 “두 수학자가 연구한 문제 풀이법은 정수론을 연구하는 사람들 사이에서도 매우 공부할 양이 많고, 공부하기 까다롭다고 유명한데 2017년부터 꾸준히 함께 공부한 끝에 얻은 성과”라고 전했어요. 이 연구는 다른 수학자에 의해 검증하는 과정이 남아있습니다.
음의 펠의 방정식의 비밀을 푼 수학자
“정수론은 규칙 찾기의 놀이터예요”
저는 정수론을 연구하는 카를로 파가노입니다. 저는 주로 하나의 문제를 다각도로 풀어보는 것을 즐겨요. 정수론은 수학 분야 전체를 공부해야 문제를 풀 수 있고, 문제를 풀며 새로운 규칙을 찾을 수 있어 매력적인 분야라 연구하고 있습니다.
음의 펠의 방정식이 제 주 연구 내용은 아니었지만 다른 공부를 하다가 저와 코이만스 연구원은 한 논문에 쓰인 연구 방법을 응용하면 스티븐하겐 추측이 풀린다는 걸 알았고, 2017년부터 함께 이 방법론을 1년 동안 토론하면서 공부했어요. 너무 어려워서 그 논문을 쓴 연구원을 직접 만나서 물어보기도 했지요.
“이번 연구로 더 많은 난제를 풀고 싶어요”
어릴 때부터 수학 퍼즐을 좋아했던 피터 코이만스입니다. 음의 펠의 방정식은 보기에는 단순해 보이지만 풀기는 어렵다는 지점이 매력적이에요.
파가노 교수가 말한 논문을 보자마자 음의 펠의 방정식에 관한 스티븐하겐 추측을 풀 수 있겠다고 확신했어요. 그때의 그 직관이 딱 맞아 떨어져 오래된 난제의 비밀을 밝힐 수 있었지요.
저는 정수론의 다양한 분야를 공부하는 것을 좋아하는데요. 새로운 연구 방법을 이용해 더 많은 난제를 풀고 싶어요.
