d라이브러리

- 잔잔하게 흐르는 유체

- 계속 잔잔하게 흐를까?

- 예상할 수 없는 이상한 흐름(특이점)이 생길까?

밀레니엄 문제

2000년 미국 클레이수학연구소는 21세기 수학계에 가장 크게 공헌할 수학 문제 7개를 선정하고, 이 문제를 풀면 100만 달러(한화 약 13억)를 주겠다고 이야기했어요. 이를 밀레니엄 문제라고 해요. N-S 방정식 관련 문제도 밀레니엄 문제 중 하나예요.

N-S 방정식

물이나 공기처럼 형태가 쉽게 변하는 물질을 ‘유체’라고 하는데, 끈적끈적한 점성을 포함한 유체의 움직임을 예측하는 방정식이에요. 프랑스 물리학자 클로드 루이 나비에와 아일랜드 수학자 조지 스토크스가 만들었어요. 이 방정식의 해는 어떤 시간과 공간에서 유체의 속도와 압력을 알려주는 함수예요.

N-S 방정식은 매우 복잡하게 생겼는데요. 그 구조는 간단해요. 뉴턴의 운동 제2법칙 F = ma를 유체의 상황에 맞게 변형한 거예요.

N-S 방정식 관련 밀레니엄 문제

3차원에서 유체가 물과 같이 흐를 때, 즉 밀도가 변하지 않을 때 잔잔하게 흐르던 유체가 시간이 지나도 계속 잔잔하게 흐를지 묻는 문제예요. 유체는 계속 잔잔하게 흐를 수도 있고 갑자기 물이 소용돌이치는 특이점이 발생할 수도 있어요.

N-S 방정식은 조건에 따라 조금씩 다른데 아래 식은 밀레니엄 문제의 N-S 방정식이에요. 밀레니엄 문제는 질량 m을 1로 두고 풀어요.

장 르레의 약해란?

프랑스 수학자 장 르레는 N-S 방정식의 해를 구하기가 너무 어렵자 방정식에 적분을 취해 해를 구하고자 했어요. 미분하면 원래 방정식을 만들 수 있거든요. 이렇게 구한 해를 ‘약해’라고 해요. 약해를 구하는 이유는 약해가 없다면 본래 구하고자 하는 방정식의 해도 없기 때문이에요. 약해가 있다고 해서 본래 해가 항상 존재하는 건 아니지만, 방정식이 어려우면 약해부터 구합니다.

르레는 1934년 약해가 존재한다는 것을 알아냈어요. 유체가 잔잔하게 흐를 때와 아닐 때를 모두 포함해서 일단 유체가 흐르기 시작하면 그것에 대응하는 방정식의 해가 반드시 있다는 것을 밝혔지요. 하지만 해가 있다는 것만 밝혔을 뿐 해가 1개인지 여러 개인지는 알아내지 못했어요.