d라이브러리

언제까지 태양을 네모나게 둘 순 없으니, 인간에게 기회를 줬지. 작도 외에 어떤 방법으로라도 원을 정사각형으로 만들면 태양을 원래대로 돌려주려고 말이야. 과연 인간들이 이번 문제는 풀 수 있을까?

타르스키 문제는 원을 조각내서 원과 넓이가 같은 정사각형으로 만들 수 있는지 묻는 거예요. 우리가 일반적으로 생각하는 조각은 가위나 칼로 잘라 만들 수 있는 조각이에요. 하지만 1963년 미국의 수학자 레스터 더빈스, 모리스 허쉬, 윌리엄 카루시는 ‘가위로 자를 수 있는 조각’으로는 이 문제를 풀 수 없다는 것을 보였어요.

1990년에는 헝가리 수학자 러츠코비치 미클로시가 원을 가위로 자를 수 없는 조각, 즉 점의 집합으로 쪼개면 이 조각들로 정사각형을 채울 수 있음을 보였어요. 이로써 타르스키 문제는 해결됐어요. 하지만 이 연구를 통해서는 구체적으로 어떤 조각으로 쪼개면 문제를 풀 수 있는지는 알 수 없었어요. 조각의 넓이를 구할 수 없었기 때문이에요.

그러던 2017년 앤드류 마크스, 스펜서 언저는 러츠코비치의 해법을 발전시켜 넓이를 구할 수 있는 조각들로 타르스키 문제를 풀었어요. 그렇지만 아직 조각을 제대로 그릴 수는 없었어요. 조각의 경계가 충분히 단순해야 조각을 시각화할 수 있거든요.

가위로 자를 수 있는 조각

넓이가 같은 두 모양 중 하나를 조각내 움직이면 다른 하나와 같음을 보일 수 있어요. 이런 조각들은 가위로 자를 수

있는 조각이에요.

러츠코비치의 조각

위쪽 그림의 정사각형을 이루는 점들과 삼각형을 이루는 점들은 개수가 같기 때문에 일대일 대응시킬 수 있어요. 여기서는 설명을 위해 점을 띄엄띄엄 그렸지만, 타르스키 문제를 풀기 위해서는 점들이 빈틈없이 촘촘히 있다고 생각해야 해요.

빨간 점은 (5, 0), 파란 점은 (7, 0), 노란 점은 (4, 1), 초록 점은 (4, 2)만큼 평행 이동했지요. 이때 같은 (x, y)만큼 평행 이동한 점들을 모은 집합으로 ‘조각’을 얻은 것이 러츠코비치의 아이디어였어요.

집합의 넓이를 구한다! 르베그 측도

무수히 많은 점으로 이뤄진 집합의 넓이는 ‘르베그 측도’로 구해요. 점의 집합을 넓이를 구하기 쉬운 직사각형들로 덮은 뒤 ‘르베그 외측도’와 ‘르베그 내측도’의 값이 같으면 그 값이 집합의 넓이가 되지요. 두 값이 다르면 러츠코비치의 해법에 등장하는 조각처럼 넓이를 측정할 수 없어요.