d라이브러리

어려운 수학 문제를 풀어내면 기분 좋은 희열을 느낄 수 있을 겁니다. 그런 희열을 충분히 음미하고 난 후에는 다음과 같은 호기심을 다시 발동시켜 보세요. ‘이 문제가 또 다른 멋진 문제로 연결되는 것은 아닐까?’ 여러분이 방금 해결했던 그 문제는 별세상으로 가는 문이었고, 여러분은 그 문을 열었을 때의 상쾌한 바람에 기뻐하고 있었을 뿐, 문 안에 펼쳐진 놀라운 세상을 보지 못하고 있었을 수도 있으니까요. 2003년에KAIST 사이버영재교육센터에서 출제됐던 이번 주제를 통해 그런 경험을 함께 시작해 봅시다. 풀이는 3월 1일 수학동아 홈페이지(math.dongascience.com)에서 확인하세요!


영재 캠프의 점심시간, 식사를 마친 준혁은 손에 재미있는 퍼즐을 쥐고 있었다.

 선생님 “재미있어 보이는 퍼즐이구나? 그런데, 이 단추는 무엇을 하는 거지?”

 준혁 “아, 선생님! 이건 그러니까…. 재미있는 건 맞는데 지금 뭔가 어려워요. 단추를 누르면 숫자가 한꺼번에 바뀌는데요….”

준혁이의 퍼즐은 다음과 같이 3행 3열로 생긴 숫자판이다.

 준혁 “이 퍼즐이랑 같이 들어 있던 카드에 그려진 숫자 모양들이 있거든요. 단추를 눌러서 그 모양들을 만들어 보는 건데, 잘 안 되는 게 몇 개 있어요.”

 선생님 “응, 만들어지지 않는 모양도 있겠구나.”

 준혁 “네, 안 되는 것들도 그게 왜 안 되는지 알 수 있을 것 같거든요. 전체 합을 3으로 나눈 나머지가 변하지 않을 텐데, 여기 있는 것들은 그건 다 맞아요. 그래서, 다른 걸 또 생각해 봤는데요….”

준혁의 카드에는 다음과 같은 모양의 숫자판들이 그려져 있었다.

상하좌우에 각각 3개씩의 단추가 있다. 위쪽이나 오른쪽의 단추는 그 단추와 같은 줄의 숫자 세 개를 각각 1씩 증가시키는 작용을 하고, 아래쪽이나 왼쪽의 단추는 그 줄의 숫자를 각각 1씩 감소시킨다.
단, 1에서 1을 감소시키면 9가 되고, 9에서 1을 증가시키면 1이 된다.

문제1

앞의 숫자판에서 다음 각각의 숫자판을 만들어내는 방법을 한 가지씩 제시하여라. 만일 만들 수 없는 경우에는 만들 수 없다고 답하여라.

문제2

1번 문제에서 만들 수 없다고 답한 보기에 대해 증명하여라.

선생님 “준혁아, 대단하구나. 네 설명을 들어보니까 정말로 거의 다 했는 걸? 방금 한 설명 안에 힌트가 다 들어 있어서 선생님은 이제야 알겠다. 그러니까, 2행 2열의 퍼즐 같은 것도 생각해볼 수 있지 않겠어? 거기서 단추를 눌러도 변하지 않는 게….”

 준혁 “아! 잠깐만요. 알 것 같아요, 선생님. 작은 문제가 힌트가 되는군요. 2×2라면 대각선끼리 묶으면…. 와, 멋진걸요? 3×3에도 그게 들어 있으니까….”

문제3

만들 수 있는 숫자판과 만들 수 없는 숫자판을 구분할 수 있는 조건을 제시하여라. 가능한 한 간략하고 명확하게 제시하는 게 좋다. 그리고 그것이 우리가 원하는 조건임을 증명하여라.

 선생님 “그래, 드디어 다 알아낸 것 같구나. 아주 기뻐 보이는 얼굴인걸? 하핫. 그런데, 이 퍼즐 보기보다 굉장히 재미있구나. 아주 여러 가지 생각을 할 수 있겠어. 준혁아, 나중에 이런 문제들도 한번 생각해 볼래?”

문제4

3×3 숫자판에 1부터 9까지의 숫자를 중복을 허용하여 아무렇게나 배열했다고 하자. 이렇게 만든 숫자판 중에는 단추를 눌러서 서로 만들어지는 것들도 있고 서로 만들어지지 않는 것들도 있을 것이다.

(1) 이렇게 아무렇게나 만든 숫자판들을 모두 모은 집합을 T라 하자. T 숫자판 중에서 서로 만들어지는 것끼리 묶으면 T는 각각 서로소인 부분집합들로 분할됨을 보여라.

(2) 이렇게 분할된 부분집합들을 이 숫자 퍼즐의 분해류라 하자. 각각의 분해류는 모두 똑같은 개수의 숫자판들을 원소로 포함함을 보여라.

(3) 이렇게 분할된 부분집합들의 개수, 즉 T의 분해류의 정확한 개수를 구하여라. 그리고 각 분해류에 포함되는 숫자판의 일정한 개수를 구하여라.

문제5

이번에는 다음과 같이 0과 1만을 적은 숫자판을 생각하자. 앞에서는 9를 0과 같은 수로 보았으나, 여기서는 9 대신에 2를 0과 같은 수로 보기로 한다. 이렇게 0과 1만을 아무렇게나 배열하여 시작하는 숫자 퍼즐에서 분해류의 정확한 개수를 구하여라. 그리고 각 분해류에 포함되는 숫자판의 일정한 개수를 구하여라.

 준혁 “아, 그런 것도 생각해볼 수 있구나. 깨끗하게 잘 풀릴 것 같아요. 이거 정말 흥미 만점인데요? 크기를 키워도 비슷할 것 같고….”

문제6

이번에는 원래의 문제를 일반화하여, 숫자판의 크기를 m×n으로 하고, 0과 k를 동일한 수로 보기로 하자. 모든 칸에 1을 적은 숫자판으로부터 시작할 때, 이로부터 만들어낼 수 있는 숫자판과 만들어낼 수 없는 숫자판을 구분할 수 있는 조건을 제시하고, 그것을 증명하여라. 또한 처음을 아무런 숫자배열로 시작할 수 있을 때 이 숫자 퍼즐의 분해류의 개수와 크기를 구하여라.

 준혁 “선생님, 다 끝냈어요. 아까는 끙끙대고 있었는데, 확장된 문제까지 정말 순식간에 해결되어 버렸는데요? 이젠 정말 끝난 건가요? 좀 허무하기도 하고….”

 선생님 “아직, 아직이야. 이걸 평면에서만 갖고 놀 필요는 없잖니?”

문제7

이 문제를 3차원으로 확장시켜보자. 3×3×3 크기 또는 m×n×r 크기의 ‘숫자건물’에 숫자를 배열할 때 지금까지 연구해 온 문제는 어떻게 논의될 수 있을까?