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생각보다 길이 너무 험하고 멀기만 하네. 동생들이 계속 뒤처지고 있어. 동생들의 체력이 걱정되긴 하지만, 길을 잃을 걱정은 안 한다고! 내가 뿌리는 페로몬이 있기 때문이지!

개미는 어떻게 의사소통을 할까요? 개미는 주로 ‘페로몬’이라는 화학물질을 묻히는 방식으로 길을 알려줍니다. 개미들은 길에 묻은 페로몬을 탐지해 목적지를 찾아가죠. 이렇게 개미가 의사소통 수단으로 활용하는 페로몬에도 수학이 담겨있습니다.

바닥에 뿌린 물이 시간이 지나면 증발해 없어지듯 페로몬도 증발합니다. 이때 같은 시간 동안 증발하는 양의 비율이 남아있는 페로몬의 양에 비례하는 특징이 있습니다. 즉 시간에 따른 페로몬의 증발은 ‘지수함수’로 표현할 수 있습니다. 지수함수란 y=a^x꼴의 함수로, 변수 x가 어떤 상수의 거듭제곱 형태(지수)인 함수를 의미합니다. 페로몬의 증발처럼 시간에 따라 처음에는 급격히 감소하다가 그 폭이 줄어드는 현상을 나타내는 데 유용하죠.

이때 ‘반감기’라는 개념은 페로몬의 특성을 설명하는 효과적인 방법입니다. 반감기란 붕괴나 증발과 같은 이유로 어떤 물질의 구성성분이 반으로 감소하는 데 걸리는 시간을 의미합니다. 방사성원소의 붕괴에서 반감기라는 용어를 많이 사용하죠.

방사성원소의 반감기는 일정하다고 알려진 반면, 페로몬의 반감기는 종류에 따라 다르며, 환경에 따라서도 변합니다. 그 예로 기온 28℃, 습도 30%의 환경에서 애집개미의 페로몬 반감기는 플라스틱 위에서 약 9분, 종이 위에서 약 3분입니다. 표면 성질에 따라 증발 속도가 다른 것과 같이 여러 상황에 따라 개미는 다른 종류와 양의 페로몬을 뿌립니다. 금방 없어질 먹이에 대해서는 반감기가 짧거나 적은 양의 페로몬을, 나무 수액처럼 지속적으로 수확할 수 있는 먹이를 발견했을 때는 반감기가 길거나 많은 양의 페로몬을 뿌립니다. 

페로몬을 유지하는 비결은 뭘까?

개미굴에서 먹이까지의 경로에 페로몬을 한 번 뿌려놓으면, 다른 개미들도 그 경로를 이용합니다. 먹이에 도달한 개미들은 먹이를 들고 집에 돌아오면서 그 경로에 새로운 페로몬을 덧뿌리고, 더 많은 개미가 그 길을 이용하면서 페로몬은 점차 진해집니다. 이렇게 점점 페로몬이 진해지는 것처럼 어떤 현상의 결과가 다시 원인이 돼 그 현상이 더욱 강해지는 일을 ‘양성 피드백’이라고 합니다.

사이먼 고스 벨기에 브뤼셀자유대학교 교수는 페로몬이 뿌려진 기존 경로에 더 짧은 경로를 추가해 개미들이 어느 경로를 택하는지 관찰했습니다. 그 결과, 개미는 여전히 기존의 긴 경로를 선호하는 것으로 나타났다고 1989년 12월 국제학술지 ‘자연과학’에 발표했습니다. 양성 피드백이 비효율적인 결과를 이끌어내기도 하는 것이죠. 더 나아가 오드리 듀스투어 프랑스 폴사바티에대학교 연구원은 먹이까지의 거리와 걸리는 시간이 같은 두 가지 이상의 경로가 있을 때, 개미들이 페로몬이 뿌려진 경로만 이용하는 것을 발견하고 그 결과를 2004년 3월 1일 국제학술지 ‘네이처’에 발표했습니다. 양성 피드백의 결과로 경로의 편향성이 생긴 것이죠. 

페로몬으로 길 찾기 문제를 푼다고?

개미 집단은 지휘 체계 없이 효율적으로 경로를 형성합니다. 이런 개미의 움직임에 영감을 받아 만든 문제 해결법 중 하나가 ‘개미 군집 최적화(Ant Colony Optimization, ACO)’ 알고리듬입니다. ACO 알고리듬은 컴퓨터를 이용해 연결 그래프의 최적 경로를 찾는 방법으로, 먹이를 찾는 개미의 행동에 영감을 얻어 만들어졌죠.

ACO 알고리듬을 쓰면 난제로 알려진 ‘외판원 문제’의 최적해를 계산할 수 있습니다. 외판원 문제는 어떤 외판원이 n개의 도시를 방문할 계획이고 각 도시가 다른 도시와 도로로 연결돼 있을 때, 이 외판원이 처음 도시에서 각 도시를 한 번씩만 방문한 후 다시 출발한 도시로 돌아오는 비용 또는 시간이 최소가 되는 경로를 찾는 문제입니다. ACO 알고리듬에서 개미가 경로를 택할 확률은 경로에 뿌려진 페로몬 농도에 비례합니다. 반면 도시 사이의 거리가 멀수록 개미가 그 경로를 택할 확률은 낮아질테니 개미가 경로를 택할 확률은 두 도시 사이 거리에 반비례합니다. 그러므로 개미가 현재 도시에서 다음 도시를 선택할 확률은 에 비례한다고 쓸 수 있습니다. 즉, 외판원 문제에서 다음 목적지를 정할 때 이 값이 큰 도시를 선택하는 방식으로 최적의 경로를 찾을 수 있습니다.