✚최근에는 번호를 눌러 여는 자물쇠를 많이 사용한다. 열쇠를 잃어버릴 위험이 없고 편리하기 때문이다. 자전거나 사물함에 쓰이는 번호 자물쇠는 1부터 8까지의 숫자 중 4개를 비밀번호로 정해 사용한다. 그런데 하필 왜 4개를 비밀번호로 정했을까?
원리를 알려면 경우의 수를 잘 이해해야 한다. 경우의 수를 생각하는 방법 중에는 순서를 생각하는 경우와 순서를 생각하지 않는 경우가 있다.
예를 들면 5명의 후보 중 회장 1명과 부회장 1명을 뽑는 경우는 순서를 생각하는 경우다. A가 회장, B가 부회장이 되는 경우와 B가 회장, A가 부회장이 되는 경우는 서로 다르기 때문이다. 경우의 수를 구해 보면 회장은 5명 중에 1명, 부회장은 당선된 회장을 제외하고 4명 중 1명을 뽑으므로 5×4=20가지가 있다.
하지만 반대표 2명을 뽑는 경우는 순서를 생각하지 않는다. A와 B가 반대표가 된 경우와 B와 A가 된 경우는 같기 때문이다.
번호 자물쇠의 비밀번호를 정하는 방법은 반대표 4명을 뽑는 것과 같이 순서를 생각하지 않는 경우다. 비밀번호를 (1,2,3,4)로 정할 때 (1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2,)…(4,3,2,1)을 모두 하나의 경우로 생각하기 때문이다.
순서를 생각하지 않는 경우의 수를 구할 때는 전체 경우의 수에 뽑는 가짓수가 하나로 생각될 경우의 수를 구해 나눠 준다. 예를 들면 뽑는 가짓수가 4개일 때는 4×3×2×1로, 5개일 때는 5×4×3×2×1로 나눠 준다.
그렇다면 8개의 숫자 중 비밀번호가 몇 개일 때 가장 안전할까?
만약 비밀번호가 2개 또는 6개라면 28번 만에 비밀번호를 알 수 있다. 또 3개 또는 5개라면 56번 만에 비밀번호를 알 수 있다. 이처럼 비밀번호의 개수에 따라 전체 경우의 수는 달라진다.
그 중에서 비밀번호의 개수가 4개일 때 가장 많은 경우의 수를 갖는다.
이처럼 수학적인 원리로 8개의 번호 중 4개의 숫자를 번호 자물쇠의 비밀번호로 사용하는 것이다. 같은 원리로 버튼이 10개일 때는 5개, 버튼이 12개일 때는 6개로 비밀번호를 정해야 가장 안전한 경우라는 것을 알 수 있다.
최근 가정에서 많이 사용하고 있는 전자 번호키에 대해서도 알아보자.
전자 번호키는 보통 0~9까지 10개의 숫자 중 몇 개를 비밀번호로 정한다. 그리고 반드시 순서에 맞게 눌러야 한다.
이때 같은 번호를 몇 번이고 누르도록 허용하는 경우와 같은 번호는 누르지 못하도록 하는 경우, 두 가지가 가능하다. 이들은 서로 다른 경우의 수를 갖는다.
0~9까지 10개의 숫자 중 5개를 비밀번호로 선택하는 경우를 생각해 보자.
같은 번호를 허용한 경우는 첫 번째부터 다섯 번째 비밀번호까지 모두 10개 숫자 중 10개를 선택할 수 있으므로 10×10×10×10×10, 즉 모두 10만 가지가 나온다. x-note에서 살펴본 10개의 버튼을 가지고 있는 비밀번호 자물쇠의 경우의 수와 비교해 보자. 비밀 번호 자물쇠는 순서를 생각하지 않으므로 경우의 수는 252가지뿐이다. 하나의 경우로 생각하는 경우의 수를 구해 나누어 주었기 때문에 가짓수가 많이 줄어들었다. 이는 순서를 생각하는 경우에 비해 그 차이가 약 400배에 가깝다. 만약 같은 번호를 허용하지 않는다 할지라도 순서를 생각하는 경우는 그 안전성이 약 3배나 높은 것이다.
우리는 보통 현관문 비밀번호로 6~8개의 숫자를 사용하므로 실제로는 10만 가지보다 더 큰 경우의 수를 갖는다.
이처럼 전자 번호키는 경우의 수가 증가한 면에서도 안전하지만 세 번 이상 실패하면 ‘삐’소리를 내며 몇 분간 작동을 멈춘다. 과학 발달로 점점 더 안전한 자물쇠가 만들어지고 있다.
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