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꿀벌의 집, 잠자리의 날개, 겉과 속 모양이 다른 곤충의 눈과 아름다운 나비의 날개까지 곤충 속에서 볼 수 있는 도형에는 모두 이유가 있다. 곤충의 생활 모습과 생김새를 통해 밝혀 낸 곤충 속 도형으로 떠나보자.
 

꽃 사이를 바쁘게 날아다니며 꿀을 모으는 꿀벌, 꿀벌은 꿀을 저장하기 위해 육각형 모양의 집으로 나른다. 꿀벌은 왜 자로 잰듯한 육각형 모양의 집을 지을까?

꿀벌이 육각형 모양으로 집을 만드는 이유는 두 가지다. 첫째는 공간을 빈틈없이 활용하기 위해서다. 되도록 많은 양의 꿀을 저장하기 위해서 꿀벌의 집은 빈틈없이 연속되는 형태가 좋다. 평면을 빈틈없이 메우는 정다각형에는 정삼각형과 정사각형, 정육각형이 있다. 꿀벌은 그 중에서 왜 하필 정육각형을 선택한 걸까?

두 번째 이유는 ‘넓이’다. 둘레가 같은 평면도형 중에서 넓이가 가장 큰 도형은 원이다. 둘레가 일정할 때 도형의 모양에 따라 넓이가 어떻게 달라지는지 계산해 보자.

둘레가 일정할 때 넓이는 ‘정삼각형<;정사각형<;정육각형<;원’의 순서로 커진다. 이처럼 모양이 원에 가까울수록 같은 둘레일 때 넓이가 커진다. 꿀벌은 같은 양의 재료를 이용해 가장 넓은 집을 짓기 위해 정육각형을 선택한 것이다.

그리고 많은 곤충의 겉모습에도 육각형이 숨어 있다. 사람의 눈으로는 잘 보이지 않는 곤충 눈의 구조가 대표적인 예다. 곤충의 눈은 사람의 눈과 구조가 다르다. 사람은 카메라 렌즈와 같이 물체의 상이 하나로 맺히는 구조다. 반면 곤충은 육각형 모양의 낱눈이 촘촘히 모여 여러 개의 상으로 맺히는 겹눈 구조다.
 

그 중 잠자리는 곤충 중 낱눈이 가장 많다. 예를 들어 실잠자리는 낱눈이 1만여개, 덩치가 큰 왕잠자리는 2만 8000여 개나 된다. 잠자리의 겹눈은 꿀벌의 집과 마찬가지로 공간을 빈틈없이 메울 수 있으면서 시야를 가장 넓게 확보하기 위해 육각형 모양의 낱눈으로 이뤄졌다.

길가에 앉아 있는 잠자리를 뒤로 다가가 잡으려 해도 잠자리는 어떻게 봤는지 재빨리 도망가곤 한다. 이것은 잠자리의 겹눈구조 때문인데, 잠자리의 눈은 머리 전체를 덮으며 뒤로도 약간 펼쳐져 있다. 그래서 잠자리는 앞과 옆은 물론 뒤도 볼 수 있다. 하지만 잠자리 눈은 정지된 물체를 복잡한 퍼즐 조각이 흐트러져 있는 것처럼 본다는 단점이 있다.


모두 둘레가 12로 일정한 정삼각형, 정사각형, 정육각형, 원의 넓이를 각각 구해보자.
 

테셀레이션

도형을 이용해 어떤 틈이나 겹침이 없이 평면 또는 공간을 완전히 메우는 미술의 한 장르다. 테셀레이션은‘4’를 뜻하는 그리스어‘테세레스’에서 유래한 단어로, 정사각형을 붙여 만드는 과정에서 생겨났다. 이를 우리말로 쪽매맞춤이라 한다.

균형 잡힌 몸매의 나비
 

세계에 2만여종이 사는 나비는 그 수만큼이나 다양하고 아름다운 무늬를 자랑한다. 나비의 날개는 완벽한 대칭으로 균형을 이루고 있어 나비를 더 빛나게 한다. 대칭에는 여러 종류의 대칭이 있는데, 나비의 날개를 포함해 모든 곤충의 겉모습에서 보이는 것이 선대칭이다. 선대칭이란 어떤 직선으로 접을 때 양쪽이 완전히 겹쳐지는 성질을 말한다.

사람도 좌우 대칭처럼 보이지만 정확히 보면 양쪽이 조금씩 다르다. 곤충은 사람보다 훨씬 더 완벽한 대칭에 가깝다. 몸집이 작을수록 양쪽의 미세한 차이가 활동에 큰 영향을 주기 때문이다. 사람은 양쪽 손이 조금 달라도 큰 지장이 없지만 나비는 양쪽 날개가 다르면 움직임에 영향을 받아 생존에 위협이 될 수도 있다. 나비 날개의 이런 대칭성과 아름다움은 수학자들의 주목을 받았다. 나비 곡선이 좋은 예다.

 

나비 곡선은 방정식을 이용해 나비의 대칭성을 수학적으로 나타낸 곡선이다. 날개 둘레의 길이나 각 날개축과 몸체축이 이루는 경사각을 정확한 값으로 구할 수 있고, 나비를 더욱 자세히 연구하는 데 이용된다. 나비 곡선를 그래프로 나타내려면 다음과 같은 순서를 따른다.

먼저 삼각함수의 식을 이용하여 한쪽 날개 부분을 그린다. 그 다음 곡선의 대칭이동을 이용해 나비의 겉모양을 완성한다. 마지막으로 나비의 줄무늬와 문양을 표현하기 위해 주기와 크기를 바꿔가며 한 좌표에 나타낸다.

나비의 움직임을 함수로 표현하기도 한다. 바로 날개의 크기와 비행 속도의 관계가 그렇다. 각각 몸집과 비교하여 날개가 큰 ‘호랑나비과’의 비행과 날개가 작은 ‘팔랑나비과’의 비행을 통해 알아보자. 날개가 큰 나비는 비교적 느린 속도로 날고, 날개가 작은 나비는 공기의 저항을 적게 받아빨리 나는 특성이 있다. 나비 날개의 크기와 속도 사이에 음의 상관 관계가 있는 것이다.

이처럼 곤충의 생활모습과 생김새의 특성을 밝혀 내는 데 수학의 기하학과 함수의 원리가 이용된다.
 

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