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다음 날, 뫼비우스 아저씨를 만나기 위해 길을 따라 걸었어. 한 방향으로만 걸어가면 어디든 갈 수 있다고 했으니까. 오늘 아저씨를 만나면 M-214호 행성을 제대로 알 수 있을거야. 오늘부터 아저씨와 본격적으로 행성을 여행하기로 했거든. 아저씨 이야기에 귀 기울여 보자고!
행성 M-214호를 리모델링하라!
“M-214호에 사는 사람들은 단조로운 이 행성을 새롭게 단장하고 싶었어. 기왕이면 안과 밖을 다른 색으로 말이야. 이웃 행성에서 가장 잘 나간다는 쌍둥이 페인트 공을 초대했지. 그리고 길을 각각 다른 색으로 꾸며 달라고 요청했어.
두 페인트 공은 나름대로 머리를 굴렸어. 한 사람은 바깥쪽 면을 빨간색으로, 다른 한 사람은 안쪽 면을 파란색으로 칠하자고 약속했지. 안과 밖을 나눠서 칠하면 일을 빨리 마칠 수 있다고 생각했거든. 둘은 같은 위치의 안과 밖에 각각 서서 바닥을 색칠하기 시작했어.
그런데 거의 끝났다고 생각할 때쯤, 파란색을 칠하던 페인트 공은 빨간색 바닥을 만나는 거야. 빨간색을 칠하던 페인트 공도 역시 사정은 같았어. 과연 어디부터 잘못됐을까? 왼쪽 띠 그림을 보면서 이유를 알아볼까? ”
뫼비우스 아저씨의 변신
“엥! 아저씨! 길 속에서 사람들이 누워 다녀요.”
난 뫼비우스 행성이 하도 독특해서 길을 살피며 걸었어. 그런데 웬걸~? 사람들이 유령처럼 길에 누워서 마구 지나다니는 거야. 그것도 바닥에 납작하게 붙어서 말야. 손으로 만져도 전혀 튀어 나온 느낌이 없었어. 더욱 기막힌 건 뫼비우스 행성의 주민들은 모두 납작해서 길 내부로 다닐 수 있대. 이 행성에선 납작한 정도가 미남과 미녀의 기준이 된다나?
설명을 마친 아저씨가 갑자기 변신을 할 거래. 무슨 얘긴지 모르겠지만 아저씨 이야기를 더 들어 볼까?
“2차원 평면처럼 납작한 이곳의 주민들은 띠 자체를 공간이라고 생각해. 행성 두께가 곧 공간이 되는 거지. 뫼비우스 띠 두 개를 만들어 겹친 후 띠와 띠 사이를 살짝 떨어뜨리면 생기는 공간이라고 생각하면 돼. 결국 이 곳 주민들은 그 틈새 사이를 다니는 거지. 이 공간을 한 바퀴 돌면 지구에선 상상할 수 없는 일이 생겨.
나 역시 이 행성에서 납작하게 변한 상태로 길 속을 자유롭게 다닐 수 있어. 이 공간을 한 바퀴 돌고 오면 내 모습이 어떨지 생각해 봐. 뭐, 별거 있겠냐고? 놀랄 준비나 하라고!”
✚안과 밖이 없는 뫼비우스 공간
면이 하나인 행성은 면을 안과 밖으로 나누지 않는다. 뫼비우스 띠 위에 시작점을 찍고 면을 따라 선을 주욱 그어 보자. 선은 양쪽 면을 모두 거쳐 다시 시작점으로 되돌아 와 있을 것이다. 페인트칠도 마찬가지다. 두 수리 공은 계속해서 띠 전체에 페인트칠을 하게 된다. 이 행성에서 안과 밖을 다른 색으로 칠하는 일은 있을 수 없다.
✚방향성이 없는 뫼비우스 공간
뫼비우스 공간을 한 바퀴 돌면 뫼비우스 아저씨 모습은 위, 아래가 바뀐다. 공간 밖의 사람에겐 아저씨가 거꾸로 보인다. 이 공간에서 오른쪽, 왼쪽, 위, 아래를 구분하는 것은 의미가 없다.
이 행성의 윗면에 살다가 아랫면으로 이사가면 사람의 심장은 왼쪽에서 오른쪽으로 움직인 것 같아 보인다. 여기서 오른쪽·왼쪽의 구분은 행성 밖 사람들의 기준이다. 방향이 바뀌는 성질은 아래 실험을 통해 알 수 있다.
좌우가 바뀌는 뫼비우스 공간 체험
➊ 긴 직사각형의 띠를 180° 만큼 한 번 꼬아 끝을 연결하고 면 위에 아무 데나 점을 찍는다.
➋ 점 찍은 곳을 시작으로 한쪽 방향으로 원을 그려 나간다. 원 위에 화살표로 방향을 표시한다.
➌ 원을 계속 그리다 보면 점을 찍었던 면의 반대쪽에 원이 그려진다.
➍ 원을 그리다가 반대쪽에 비친 점과 만나면 펜을 놓고 띠를 확인한다. 화살표의 방향이 바뀌어 있다.
원 대신 오른손을 그려 봐도 결과는 똑같다. 똑같은 과정을 거치면 오른손은 왼손으로 바뀌어 있다.
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뫼비우스 행성 탐험기
첫째 날 M-214호에 떨어지다
둘째 날 알쏭달쏭 신기한 세계
셋째 날 상상하면 이뤄질까?
마지막 날 현실과 통하는 문, 클라인 병 건물로!
뫼비우스 띠, 위상수학 돋보기로 다시 보자!
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