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카파렐리 교수가 PDE 분야의 대가로 불리는 이유는 그가 발표한 연구들의 파급력이 크기 때문입니다. 일례로 2018 필즈상 수상자 알레시오 피갈리 스위스 취리히연방공과대학교 교수의 연구를 들 수 있습니다. 피갈리 교수의 업적은 ‘최적 운송 이론ʼ의 문제에서 성과를 낸 것과 ‘슈테판 문제ʼ의 해답에 더 다가선 것인데요. 이 모두 카파렐리 교수의 연구를 발전시킨 것입니다. 카페렐리 교수가 어떤 수학적 성과를 냈는지 지금부터 자세히 알아볼게요.

업적 1.  최적 운송 계획법을 진전시키다!

최적 운송 계획법은 A 지점에서 B 지점까지 대량의 물자를 이동시킬 때 최소 비용으로 최대 이윤을 얻을 수 있는 길을 찾는 것입니다. 예컨대 강원도 채석장에서 서울의 아파트 건설 현장으로 대리석을 옮겨야 한다고 가정해 보세요. 비용을 가장 적게 들이려면 최단 시간에 가장 짧은 경로로 가야 하는데요. 이를 알려주는 함수를 PDE로 찾는 거죠.

최적 운송 계획법을 찾으려면 ‘몽쥬-앙페르 방정식(PDE)’을 이용해야 한다는 프랑스 수학자 얀 브레니어의 결과를 바탕으로, 카파렐리 교수는 이 방정식의 해를 구하는 데 도움을 주는 방법을 찾았습니다. 이 결과는 경제학뿐만 아니라 기후 전선의 이동을 예측하는 기상학 연구에도 쓰입니다.

업적 2. 녹는 얼음의 특이점을 찾았다! 슈테판 문제

1889년 슬로베니아 물리학자 요제프 슈테판은 얼음이 녹는 현상을 PDE 2개로 표현했어요. 하나는 따뜻한 물에서 차가운 얼음으로 열이 확산하면서 얼음이 녹는 현상을 설명해요. 다른 하나는 얼음이 녹는 과정이 진행됨에 따라 얼음과 물 사이의 경계 변화를 알려주는 식입니다. 이 2개의 PDE는 실제 얼음이 녹는 실험의 결괏값과도 잘 들어맞았지요. 

그런데 슈테판은 얼음과 물 사이의 경계에 ‘특이점’이 얼마나 있을지 궁금했지만, 이를 밝히지 못했어요. 그래서 그의 이름을 딴 슈테판 문제가 나왔습니다. 특이점은 PDE를 포함한 어떤 수식을 그래프로 나타냈을 때 뾰족하게 생긴 지점으로, 이 지점에서는 미분이 불가능해요.

1977년 카파렐리 교수는 슈테판 문제 해결의 중요한 실마리를 마련합니다. 얼음과 물의 경계의 변화를 돋보기처럼 확대해서 볼 수 있는 수학적인 방법을 고안합니다. 그 결과 얼음이 물이 되는 0℃에 특이점이 있다는 것을 증명했습니다. 또 특이점이 얼마나 있는지 알아내는 방법도 고안했지요. 이 방법을 이용해 2021년 피갈리 교수팀은 특이점이 매우 드물게 있다는 사실을 알아냅니다. 

업적 3. 나비에-스토크스 방정식의 실마리 제시하다

카파렐리 교수는 100만 달러(한화 13억 1900만원)의 상금이 걸린 밀레니엄 난제인 나비에-스토크스 방정식에서도 업적을 남겼어요. 이 식은 끈적끈적한 점성을 포함한 유체의 움직임을 예측하는데, 특이점이 있다면 정확한 움직임을 알 수 없어 특이점이 있는지 밝히는 게 중요해요.

1982년 카파렐리 교수는 공동 연구자와 함께 나비에-스토크스 방정식의 원래 해인 함수에 특이점이 있는지 없는지는 모르지만, 특이점이 있다면 이것들을 모았을 때 선을 만들 수 없을 만큼 매우 작아야 한다는 것을 증명했습니다.