d라이브러리

2020 도쿄올림픽이 막을 내렸습니다. 코로나19로 이전 올림픽만큼 관심을 끌진 못했지만 한국 선수들의 열정은 그 어느 때보다도 뜨거웠습니다. 시원하게 10점을 쏘아댄 양궁부터 투혼으로 불태운 배구까지! 오늘은 도쿄올림픽을 추억하며 도쿄의 명소인 도쿄 타워를 만들어보겠습니다.

※ 편집자 주

LOL, 오버워치, 배그부터 다양한 인디게임까지 섭렵한 게임 인생 6년 차 퓨처킴. 하지만 마인크래프트는 처음이다. 회사에서 게임을 하는 것이 조금은 눈치 보이지만 마크의 초고수가 되는 그날까지, 나는 달린다!

도쿄 타워를 만들다 보니 떠오른 또 다른 건축물이 있습니다. 바로 다음 하계 올림픽이 열릴 프랑스 파리의 에펠탑이에요. 두 건축물 모두 사각뿔로 네 옆면이 각각 삼각형 모양을 이루며 뾰족하게 솟아 있고, 삼각형 모양의 철제 구조물로 이뤄져 있어 튼튼하죠. 이렇듯 비슷하게 생긴 두 개의 물건이 있을 때 보통 ‘두 물체가 닮았다’고 말합니다. 그렇다면 수학적으로도 두 건축물이 닮았다고 할 수 있을까요?

도형의 닮음

수학에서는 단지 비슷하게 생겼다고 해서 ‘닮았다’는 표현을 쓸 수 없어요. 한 도형을 일정한 비율로 확대 또는 축소한 도형을 ‘서로 닮았다’ 또는 ‘닮음인 관계에 있다’고 하죠. 서로 닮은 도형은 대응변의 길이비가 항상 같다, 대응각의 크기가 모두 같다는 성질을 갖습니다. 여기서 대응은 짝을 이루는 관계를 말합니다. 아래 사각형을 살펴볼까요?

Ⓐ와 닮음인 사각형을 골라볼까요? 먼저 ‘대응하는 변의 길이 비가 같다’는 성질을 만족하지 않는 Ⓓ는 탈락입니다. Ⓐ는 가로세로 비가 2:1이지만 Ⓓ는 3:2이어서 대응하는 변의 길이 비가 다르기 때문이죠. Ⓑ는 대응하는 각의 크기가 달라서 탈락입니다. 그럼 Ⓒ는 어떨까요? Ⓐ와 가로세로 비가 3:1.5=2:1로 같고 대응각 역시 같습니다. 따라서 Ⓐ와 닮음인 도형은 Ⓒ입니다.

한편 도쿄 타워나 에펠탑의 옆면에서 나타나는 삼각형은 3가지의 닮음 조건이 있습니다. 각 변의 길이 비가 같은 SSS 닮음, 두 내각의 크기가 같은 AA 닮음, 두 변의 길이 비가 같고 그 변들 사이의 끼인각의 크기가 같은 SAS 닮음이죠. 3가지 조건 중 하나만 만족해도 두 삼각형은 닮음이라 봅니다.

삼각형 외의 다각형은 모든 변의 길이와 각의 크기를 알아야 닮음인지 아닌지를 알 수 있습니다. 그런데 왜 삼각형은 세 변의 길이만 알거나, 두 각의 크기만 알거나, 두 변과 끼인각을 알면 닮음인지 알 수 있는 걸까요?

단 하나의 삼각형을 만드는 조건

그 이유는 두 도형이 닮음인지 알아내는 조건만으로 하나의 도형을 그릴 수 있기 때문입니다. 삼각형은 다른 다각형보다 적은 조건으로 단 하나의 도형을 그릴 수 있어요. 세 변의 길이가 주어질 경우 만들 수 있는 삼각형은 딱 1개입니다. 반면 네 변의 길이가 주어질 때 만들 수 있는 사각형은 여러 개입니다. 예를 들어 ‘모든 변의 길이가 6인 삼각형과 사각형’ 그리기를 생각하면 삼각형의 경우 정삼각형만 그릴 수 있는 반면, 사각형은 정사각형과 마름모를 동시에 그릴 수 있으니까요.

또 삼각형은 세 각의 크기가 주어지면 한 가지 모양만 만들 수 있습니다. 그럼 두 변의 길이와 그 끼인각이 주어졌을 때 만들 수 있는 삼각형의 개수는 몇 개일까요? 맞습니다. 단 1개죠. 결국 삼각형의 닮음 조건은 한 가지 모양의 삼각형을 만들 수 있는 최소 조건과 같습니다.

서로 닮은 입체도형은 대응하는 모서리 길이의 비가 일정하고, 대응하는 면이 서로 같은 도형이라고 합니다. 과연 에펠탑과 도쿄 타워는 입체도형의 닮음 조건을 만족할까요? 여러분의 생각을 futurekim93@donga.com으로 보내주세요. 정답을 맞힌 분 중 추첨을 통해 선물을 드립니다.