플랑크, 보어, 하이젠베르크, 슈뢰딩거 그리고 파울리까지. 양자역학의 기초를 세운 물리학의 영웅들입니다. 하지만 이들도 처음에는 자신이 무엇을 하고 있는지 매번 의문에 휩싸였습니다. 양자 현상이 일상생활 속에서 전혀 보이지 않을 뿐더러 기존 상식으로는 상상하기조차 힘들었기 때문이지요.
이럴 때 그들에게 힘이 되어 준 것이 수학이었습니다. 직관으로는 이해가 되지 않는 양자역학적 현상을 새로운 법칙과 공식으로 정리하고 어떤 실험을 해야 할지 예측하게 해준 것이 바로 수학이지요.
특히 막스 보른은 양자역학에 수학적인 토대를 제공한 위대한 수학자이자 물리학자 입니다. 처음에는 보른도 실험을 배워보려 했지만, 곧 다른 사람들이 관측하거나 실험한 자료를 수학으로 깊이 연구해 새로운 사실을 밝히는 데 집중했습니다. 그는 자신만의 방법으로 양자역학의 전당에 가장 중요한 두 기둥을 세우는 데 성공합니다.
수학으로 이해하게 된 양자역학
1925년 베르너 하이젠베르크가 북해의 섬 헬골란트에서 요양을 취하던 당시 물리학계는 큰 고민에 빠져있었습니다. 뉴턴역학이나 맥스웰이 완성한 고전전자기학으로는 설명할 수 없는 사실들이 수많은 관측과 실험으로 나오고 있었지만, 물리학자들은 아름답고 고귀한 고전물리학을 쉽게 버리지 못했습니다. 그나마 고전물리학과 양자역학을 연결하며 전통을 지켜주던 보어의 원자모형마저 실패로 드러나자 물리학자들은 깊은 회의에 빠집니다.
이때 젊고 거침없던 하이젠베르크는 그 누구도 생각 못한 일을 벌입니다. 이전까 지 양자역학의 결과를 고전물리학에 끼워 맞추려던 시도를 180° 뒤집어, 고전적 물리량을 어떻게 조작하면 양자적 물리량이 될지 살펴봤습니다. 하이젠베르크는 이 과정에서 자신만의 독특한 방식을 사용 했는데, 그게 수학적으로 뭘 뜻하는지는 본인도 몰랐습니다.
하이젠베르크의 작업에서 수학적인 의미를 꿰뚫어 본 사람은 한때 그의 스승이 었던 보른입니다. 보른은 하이젠베르크가 쓴 곱셈 방식이 자신에게 익숙한 행렬 곱 셈의 일종임을 바로 알아차렸습니다. 보른은 자신의 제자 및 하이젠베르크와 함께 ‘3인 논문’을 출판합니다. 이 논문에서 보른은 행렬의 의미를 더욱 살려 힐베르트 공간과 에르미트 연산자 등 선형대수학의 개념을 물리학에 도입합니다. 선형대수학의 도입으로 양자역학은 고전역학과는 완전히 다른 형식을 얻게 되고, 그동안 이해 할 수 없었던 많은 문제들이 수학을 통해 이해되기 시작했습니다.
노벨 물리학상을 받은 수학자
보른은 하이젠베르크와는 전혀 다른 주장을 하던 에르빈 슈뢰딩거의 이론에도 영향을 미쳤습니다. 슈뢰딩거는 입자보다 는 파동을 통해 세상을 바라보려고 했고, 그래서 양자도약 같은 불연속적인 에너지 개념을 받아들이지 못했지요. 1925년 크리 스마스 슈뢰딩거는 획기적인 파동방정식을 생각해냅니다. 하이젠베르크와는 전혀 다른 방식으로 양자현상을 설명할 ‘슈뢰딩거 방정식’입니다. 행렬역학보다 훨씬 간단 하고 직관적으로 이해할 수 있으며 양자도약 같은 어려운 개념이 필요 없었습니다.
이때 보른이 다시 나섭니다. 보른은 슈뢰딩거 방정식에 통계 개념을 도입합니다. 파동함수의 제곱이 전자가 나타날 수 있는 확률이라고 정의하면서 슈뢰딩거 방정식을 재해석합니다. 재미있게도 여기서 영향을 받은 하이젠베르크가 다시금 양자역학을 집대성하는 불확정성 원리를 발표하지요.
이처럼 보른은 양자역학의 물길이 막힐 때마다 나타나 물꼬를 틔어 준 위대한 수학자입니다. 그는 양자역학 기초를 세운 공로를 인정받아 1954년 노벨 물리학상을 받습니다.
양자역학의 또다른 애인, 복소수
양자역학에 따르면 전자는 여러 위치에 동시에 존재할 수 있으므로 A점에서 B점으로 이동할 때도 여러 경로를 동시에 이동할 수 있다. 이때 각 경로를 통해서 다가오는 전자파는 어떻게 나타낼 수 있을까. 1940년대 미국의 물리학자 리처드 파인만은 복소수와 지수함수를 이용해 이를 계산하는 방법을 알아냈다. 지금도 널리 쓰이고 있는 ‘경로적분’인데, 어느 한 시각에 B점에 도착하는 모든 경로의 영향을 합하면 B에서의 파의 높이를 구할 수 있다. 여기서 파를 복소수로 표현하는 이유는 계산을 쉽게 하기 위해서다. 복잡한 삼각함수 계산을 복소수로 바꾸면 계산이 훨씬 편리해진다.
전자의 상태를 나타낼 때도 복소수가 필요하다. 전자는
의 두 스핀상태를 가진다.
이때 두 성분은 복소수로 표현할 수 있다. 막스 보른은 전자의 파동함수를 해석하기 위해 복소수를 사용했다. 양자역학에서 간섭현상 등은 복소수의 위상으로부터 오기 때문에, 복소수를 이해하지 않고서는 양자역학을 깊이 이해하기 힘들다.
양자역학에 따르면 전자는 여러 위치에 동시에 존재할 수 있으므로 A점에서 B점으로 이동할 때도 여러 경로를 동시에 이동할 수 있다. 이때 각 경로를 통해서 다가오는 전자파는 어떻게 나타낼 수 있을까. 1940년대 미국의 물리학자 리처드 파인만은 복소수와 지수함수를 이용해 이를 계산하는 방법을 알아냈다. 지금도 널리 쓰이고 있는 ‘경로적분’인데, 어느 한 시각에 B점에 도착하는 모든 경로의 영향을 합하면 B에서의 파의 높이를 구할 수 있다. 여기서 파를 복소수로 표현하는 이유는 계산을 쉽게 하기 위해서다. 복잡한 삼각함수 계산을 복소수로 바꾸면 계산이 훨씬 편리해진다.
전자의 상태를 나타낼 때도 복소수가 필요하다. 전자는
의 두 스핀상태를 가진다.이때 두 성분은 복소수로 표현할 수 있다. 막스 보른은 전자의 파동함수를 해석하기 위해 복소수를 사용했다. 양자역학에서 간섭현상 등은 복소수의 위상으로부터 오기 때문에, 복소수를 이해하지 않고서는 양자역학을 깊이 이해하기 힘들다.
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