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모든 수학자들이 애호하는 미(未)해결 문제가 가까운 장래에 해결될 수 있을것처럼 보인다. 여기서 내가 '있을 것처럼'이란 표현을 했음에 주목하기 바란다.

먼저 이 미해결 문제(17세기 부터)가 어떤 것인가를 살피는 일부터 시작해보자. 수학에서 제곱수란 어떤 수에 그 자신을 곱해서 이루어진 결과이다. 따라서 9는 제곱수인데, 왜냐하면그것은 3에 3을 곱해서 이루어진 수이기 때문이다. 다시 16도 4에 4를 곱해 이루어진 제곱수이고 25도 5에 5를 곱해 이루어진 제곱수이다. 9에 16을 더하면 25임에 주목하기 바란다. 다른 말로 표현하면, 3의 제곱에 4의 제곱을 더한 것이 5의 제곱이 되는 것이다.

이것은 특별한 예가 아니다. 두개의 더 작은 제곱수들을 더해서 만들어지는 또 다른 제곱수들이 많이 존재한다. 다시말해서 5의 제곱은 25이다. 12의 제곱은 12×12=144이고 13의 제곱은 13×13=169이다. 그런데 25더하기 144는 169이다. 따라서 5의 제곱에 12의 제곱을 더하면13의 제곱인 것이다.

이러한 다른 예가 더 많이 있는가? 그렇다. 사실 두개의 제곱수의 합이 또다른 제곱수가 되는 경우가 무한히 많다는 것을 증명하는 것은 수학자들에겐 매우 쉬운 일이다.

그러나 조금 복잡한 경우를 가정해보자. 세제곱수는 어떤 수에 그 자신을 두번 곱해 이루어진 수이다. 따라서 2의 세제곱수는
2×2×2=8이다. 3의 세제곱수는 3×3×3=27이다. 4의 세제곱수는 4×4×4=64이고 다른 경우도 이와 같다.

두개의 세제곱수를 더해서 또 다른 세제곱수가 만들어지는 경우를 발견할 수 있을까? 지금까지 어떤 사람도 단 한가지 경우를 발견하지 못했으며, 실제로 수학자들은 이것이 불가능 하다는 것을 보였다.

우리는 곱셈이 더 길게 진행되는 경우를 생각해 볼 수 있다. 네 제곱수는 어떤 수에 그 자신을 세번 곱해서 이루어진 수이다. 다섯제곱수는 어떤 수에 그 자신을 네번 곱해서 이루어진 수이며, 다섯제곱 이상의 경우도 마찬가지로 생각하면 된다. 따라서 4의 네제곱은 4×4×4×4=256이고 3의 다섯제곱은 3×3×3×3×3==243이다.

2의 네제곱수가 또다른 네제곱수를 만드는 경우, 2개의 다섯제곱수가 또다른 다섯제곱수를만드는 경우, 또는 (이점에 관해서는) 두개의 여든네제곱수가 또다른 여든네제곱수를 만드는 경우를 발견하는 것이 가능할까. 지금까지 어떤 수학자도 이러한 합이 발견되는 단 한가지 예도 찾아내지 못했다. 이것은 제곱수에서만 발견되는 것이었다.

이제 '피에르 드 훼르마'라는 수학자가 살고 있었던 남 프랑스의 1637년으로 돌아가보자. 그는 법률가였지만, 여가시간에 수학을 취미삼아 하곤 했었다. 실제로 그는 지금까지 살았던 가장 위대한 아마추어 수학자였다. 그는 자신의 수학을 신중하게 생각하지 않고 있었다. 자신이 발견한 것을 친구에세 보내는 일상적인 편지들 속에 기술하거나, 읽고 있던 책의 여백에 기묘한 메모로 적어두었다.

그는 분석기하학과 미적분학을 발견하기 직전까지 와 있었다. 그가 모든 시간을 투자하여 깊이 연구했다면 그는 이러한 발견들을 이룩해낼 수 있었을 것이다.

아뭏든 1637년 '훼르마'는 정수들의 관계에 관한 한 책을 읽고 있었다. 이것은 그로 하여금 제곱수, 세제곱수, 네제곱수, 또는 그 이상의 수들의 합에 대해 생각해보게 했다. 그는 책의 여백에 제곱수들을 더해서 또다른 제곱수를 만들 수 있다고 적어놓고 거기서 그쳐 버렸다. 세제곱수나 더 높은 제곱수들은 이러한 방식으로 더해질 수 없었다. 그는 "나는 이정리에 대해 진실로 놀랄만한 증명을 발견했지만 그것을 기록하기엔 여백이 너무 적었다"라고 말했다.

그리고 그는 세부적인 사항에 대해선 다른 어떤 곳에서도 기록하지 않았다.

그 이후 이것은 수학자들을 미칠 지경으로 괴롭혔다. '훼르마'는 완벽하게 믿을만한 사람이었다. 그가 세부사항을 제시하지 않고 증명했다고 말한 정리가 몇개 더 있었는데, 이러한 정리들은 후세의 수학자들에 의해서 실제로 증명되었다. 그가 틀렸다는 것이 밝혀진 경우는 한번도 없었다. 이것은 훼르마의 정리중 증명을 기다리는 유일한 것이며, 따라서 '페르마의 마지막 정리'라고 불리워진다.

지난 3세기 반동안 가장 위대한 수학자들중 몇몇이 이 문제에 도전했으나 패배한 채로 그만두었다. 그들은 '훼르마'가 몰랐던 수학적 방법(그가 이 경우를 위해 그것을 창조해내지 않았다면)을 사용했지만 답을 발견할 수는 없었다. 몇몇 수학자가 자신들이 증명을 했다고 주장했던 경우도 몇번 있었지만, 얼마 후 그의 작업에 작은 실수가 있는 것이 발견되었다.

훼르마의 마지막 정리가 사실임에는 의심의 여지가 없다. 세제곱이나 네제곱 등의 특별한 몇몇 경우에 대해선 이미 증명이 되었다. 수학자들은 제곱을 제외한 다른 어떤 제곱수에도 적용되는 일반적인 증명을 발견하지 못하고 있을 뿐이다.

훼르마가 실수했을 수도 있을까? 그는 증명을 했다고 생각했지만, 이후 그렇지 않았다는 것을 발견한 것이 아닐까? 수학자들은 훼르마가 매우 놀라운 사람이었기 때문에 이러한 것을 믿기 싫어하지만, 아무도 다시 하지 못했던 증명을 훼르마가 발견했다는것 또한 믿기 힘든 것이다.

그렇지만 이제 '요이치 미요아카'라는 한 일본 수학자가 지난 2월 독일에서의 한 모임에서 이 증명의 시작을 개괄적으로 설명했다. 이 증명이 기다리던 결론으로 갈 수 있을 것을까? 아직은 아무도 말할 수 없지만, 모든 수학자들은 숨을 죽이고 있다.(관련기사 다음 128p)

It looks as though every mathematician's favorite unsolved problem may be solved in the near future. Notice that I say 'may'.

Let's begin by seeing what the unsolved (since the 17th Century) Problem is. In mathematics, a square number is one that is the product of an integer multiplied by itself. Thus 9 is a square number because it is the product of 3 times 3. Again, 16 is a square number because it is the product of 4 times 4, and 25 is a square number because it is the product of 5 times 5. Notice, though, that 9 plus 16 equals 25. In other words, the square of 3 plus the square of 4 equals the square of 5.

This is not unusual. There are other square numbers that are the sum of two smaller square. Thus, again, the square of 5 is 25. The square of 12 is 12 times 12 equals 144, and the square of 13 is 13 times 13 equals 169. However, 25 plus 144 equals 169; therefore, the square of 5 plus the square of 12 equals the square of 13.

Are there any other examples? Yes, there are. In fact, it is very easy for mathematicians to prove that there are an infinite number of cases where the sum of two squares equals a third square.

But suppose we get a little more complicated. A cube is the product of a number multiplied by itself twice, Thus the cube of 2 is equal to 2 times 2 times 2, or 8. The cube of 3 is equal to 3 times 3 times 3, or 27. The cube of 4 is equal to 4 times 4 times 4, or 64, and so on.

Is it possible to find two small cubes which, when added, give a third cube? No one has ever found even a single case of it, and, indeed, mathematicians have shown that no such case is possible.

We can go to longer strings of multiplication. A fourth power is the product of a number multiplied by itself three times; a fifth power is the product of a number multiplied by itself four times, and so on. Thus, the fourth power of 4 is 4 times 4 times 4 times 4 equals 256; while the fifth power of 3 is 3 times 3 times 3 times 3 times 3 equals 243.

Is it possible to have two fourth powers that add up to a third fourth power, or two fifth powers that add up to a third fifth power, or(for that matter) two 84th powers that add up to a third 84th power? No mathematician has ever found a single case where any of these sums can be found. It can be done only with square numbers.

Now, let's move back to 1637 where, in southern France, there lived a man named Pierre de Fermat (fehr-MAH). He was a lawyer but, in his spare time, he dabbled in mathematics. In fact, he was the greatest amateur mathematician who ever lived. He didn't take his mathematics very seriously but described his discoveries in casual letters to his friends, or scribbled odd notes in the margins of books he was reading. He got right to the edge of discovering analytic geometry and the calculus.

If he had worked full time and seriously, he would have made those dis coveries.

In any case, in that year, 1637, Fermat was reading a book about relationships involving whole numbers. That got him to thinking about the sum of squares, of cubes, of fourth powers and so on. He scribbled in the margin of the book that you could add squares to get another square, but there it stopped. No cubes or any higher powers could be added in this way. He said "I have discovered a truly remarkable proof of this theorem, but the margin is too small to hold it."

And he never gave the details anywhere else, either.

Ever since, this has driven mathematicians crazy. Fermat was completely reliable. There were other thorems he advanced which he said he had proved, without giving details, and in every single case those theorems were actually proved by later mathematicians, He was never found to be wrong. This is the only one of Fermat's theorems that remains to be proven, so it is called "Fermat's Last Theorem."

Some of the greatest mathematicians over the last 3 1/2 centuries have tackled the problem and retired defeated. They have made use of mathematical techniques unknown to Fermat (unless he invented them himself for the occasion) and still couldn't find the answer. There were moments when this or that mathematician thought he had the proof and then found there was a small error in what he had done.

There is no doubt that the Ferma't Last Theorem is true. It has been proved for a number of special cases like cubes, and fourth powers, and so on. Mathematicians just can't get the general proof, applying to any set of powers except the square.

Could Fermat have been mistaken? Did he think he had the proof, then find he didn't Mathematicians hate to believe that because Fermat was so remarkable a man, but it's also hard to believe that Fermat could have found a proof that no one has ever been able to duplicate.

Now, however, a Japanse mathematician, Yoichi Miyoaka, has outlined the beginnings of a proof at a meeting in Germany in February. Will the proof move on to the desired conclusion? No one say yet, but every mathematician is holding his breath. (c) 1988, Los Angeles Times Syndicats