전국에서 수학 체험 수업으로 소문난 선생님을 찾아가 소개하는 시간이 돌아왔습니다. 이번엔 경북 영주로 달려가서 장영희 동산여자중학교 선생님의 정다면체 모양 향초 만들기 수업에 참여했는데요.
정다면체의 종류, 특징에 이어 오일러 다면체 정리까지 알아봤습니다.
세상에 5개밖에 없는 정다면체
수학자는 물론 화가들까지 연구했던 수학적 대상이 있어요. 바로 정다면체인데요. 정다면체는 각 면이 모두 합동인 정다각형으로 이뤄져 있고 각 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 같은 다면체를 말합니다.
고대 그리스 철학자이자 수학자인 플라톤의 정다면체 연구 내용이 르네상스 시기 이탈리아에 전해지면서 화가 피에로 델라 프란체스카, 레오나르도 다 빈치, 알브레히트 뒤러까지 정다면체에 매료됩니다.
플라톤은 물질의 4원소인 물, 불, 흙, 공기가 각각 정이십면체, 정사면체, 정육면체, 정팔면체 형태를 지니고, 모든 것이 구성된 우주가 정십이면체 형태를 띤다고 봤어요. 그리고 물질의 성질을 각 정다면체의 특징으로 풀어냈지요. 이런 플라톤의 철학이 화가들의 마음을 사로잡았던 거죠.
재미있게도 정다각형의 종류는 무수히 많지만, 정다면체는 플라톤이 언급한 딱 5종류밖에 없습니다. 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체입니다.
장 선생님은 “많은 학생이 수학 시간에 배우는 정다면체의 특성을 무작정 외우곤 한다”면서, “직접 정다면체 모양 향초를 만들어 보면 각 정다면체가 어떤 특성을 가졌고 종류가 몇 개인지 자연스레 습득할 수 있을 것 같아서 이번 수업을 기획했다”고 말했습니다.
그런데 이번 수업에서는 정다면체 모양을 찍어낼 수 있는 몰드가 필요합니다. 장 선생님은 수업을 위해 직접 몰드 제작 업체에 정다면체 5개 모양의 실리콘 몰드 제작을 의뢰했습니다. 이 몰드가 없더라도 정육면체 모양의 얼음틀 같이 정다면체 모양을 구현할 수 있는 틀을 이용하면 향초를 만들 수 있습니다.
스위스의 수학자 레온하르트 오일러는 다면체를 구성하는 점, 선, 면이 가지는 관계를 밝힌 ‘오일러 다면체 정리’를 만들었어요. 꼭짓점의 개수(V)에서 모서리의 개수(E)를 뺀 값에 면의 개수(F)를 더 할 경우에 나오는 오일러 지표(χ)가 일정하다는 정리(χ = VE + F = 2)예요. 이 정리가 적용되지 않는 다면체도 있지만 정다면체는 모두 해당됩니다.
그 이유는 모양을 조금 바꾸더라도 변하지 않는 값이 무엇인지 알아내기 위해 오일러 지표를 만들었기 때문이에요. 이 값을 보고 여러 가지 도형이나 공간이 서로 같은 성질을 가지는지 보려고 했거든요.
흔히 위상수학에서는 손잡이가 달린 컵과 도넛이 같다고 하는데, 둘의 오일러 지표가 각각 0입니다. 뫼비우스 띠의 오일러 지표도 0이지요. 이렇게 모양이 바뀌어도 절대 변하지 않는 고유한 값을 연구하는 분야가 위상수학이에요.
