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첫 번째 질문 I  허수는 어떻게 받아들여 졌는가?

인문학자 먼저 허수라는 이름에 대해서 이야기해볼게요. 허수(Imaginary number, 상상의 수)라는 이름이 ‘없다’는 것을 연상시켜 불필요한 논란을 일으키고 상당히 많은 비판이 있었어요. 독일 수학자 카를 프리드리히 가우스(1777~1855)는 허수 대신 외수(Lateral number, 옆의 수)라는 이름을 붙이길 제안한 바 있습니다. 수학자로서 허수라는 이름을 어떻게 생각하세요?

수학자 반가운 질문이네요. 저도 허수라는 이름에 불만이 있거든요. 어떻게 보면 수는 애초에 존재하지 않는다고 말해도 틀린 말이 아니에요. 음수가 있기 전에는 어떤 수에 0이 아닌 수를 더하면 항상 커져야 한다고 생각했을 거예요. 어느 순간 x에 4라는 수를 더했는데 2가 되는 해(x + 4 = 2)를 구하려고 음수를 도입했지요. 이렇게 인류는 0이나 음수를 어느 순간부터 자연스럽게 받아들였어요. 그렇듯 x를 제곱해서이 나오는 수(x2 = -1)인 허수를 찾은 겁니다.
 

제 생각에는 허수는 제곱해서 음수가 되는 수니까 ‘이차 음수’라는 이름을 붙였으면 사람들이 자연스럽게 이 수를 받아들였을 것 같아요. 이 수를 허수라고 명명하고 허수가 아닌 수를 실수라고 이름 붙이다 보니까 허수를 받아들이기 더 어렵지 않았나 생각합니다.

이번엔 제가 교수님께 질문을 드려 볼게요. 실수와 허수를 포함한 복소수를 보편화한 사람이 가우스라는 이야기가 많은 것 같아요. 교수님도 이 의견에 동의하시나요?

인문학자  허수에 대한 논의는 가우스 이전에도 존재했어요. 지금까지 밝혀진 바에 따르면 이탈리아 수학자 지롤라모 카르다노(1501~1576)가 삼차방정식을 푸는 과정에서 처음 제곱근 안에 음수가 있는 수를 사용한 적이 있습니다. 하지만 가우스가 1799년 박사 논문에서 모든 복소수 계수를 가진 방정식의 해는 언제나 복소수라는 ‘대수학의 기본 정리’를 증명해냄에 따라 허수에 관한 본격적인 논의가 이뤄졌지요.

이후 가우스 평면이라고도 부르는 ‘복소평면’이 등장해요. 복소평면은 좌표평면의 x축에는 모든 실수를, y축에는 이 실수에 i를 곱한 허수를 대응시켜요. 그러면 평면의 점과 모든 복소수를 일대일 대응시킬 수 있지요. 참고로 이보다 앞서 프랑스 수학자 르네 데카르트(1596~1650)가 기하학에서 좌표평면을 도입했는데요. 그런 면에서 데카르트가 복소수가 발전할 수 있는 토대를 마련했다고도 말할 수 있어요.

박사님이 생각하기에 복소수를 기하학적으로 표시하는 일이 가진 장단점이 있나요?

수학자  복소평면의 도입은 필연적이었다고 생각해요. 우리가 수직선 상에 수를 표현할 때 자연수부터순으로 채우고 0을 기준으로 반대쪽에 음수를 채웁니다. 그다음 사이사이에 유리수와 무리수를 채우면 실수라는 직선이 완성되지요. 그런데 a + bi라는 복소수는 실수 부분과 허수 부분을 2개의 직선으로 표현하다 보니 자연스럽게 2차 평면이 나왔고, 이게 복소평면이 된 거예요.

덕분에 a + bi와 c + di가 있으면 두 수의 덧셈은  x축은 x축대로 y축은 y축대로 더할 수 있게 됐지요. 곱셈도 복소평면 위의 두 점을 길이는 길이끼리 곱하고, 각은 각끼리 더하면 나오는 점으로 구할 수 있어요. 그러니까 어떻게 보면 굉장히 쉬운 표기 방법이라고도 볼 수 있지요.