d라이브러리

환영합니다. 카드로 상대방의 마음을 읽는 쌍둥이 수학 마술사 피카수 형제입니다. 마음을 읽는 카드 마술은 신기한 만큼 어려운 수학 원리가 숨어있습니다. 
하지만 걱정 마세요. 한 번만 이해하면 무척 쉽게 느껴질 테니까요.

뒤집한 카드를 맞혀라!

트럼프 카드에는 각각 1개의 무늬와 1개의 숫자 또는 알파벳이 적혀있습니다. 무늬는 다이아(◆), 클로버(♣), 하트(♥), 스페이드(♠)로 4종류고, 문자는 9개 숫자(2~10)와 4개의 알파벳(A, J, Q, K)까지 13종류이므로 카드는 총 52(=4×13)장이죠.

뒤집힌 카드를 알 수 있는 단서는 무늬가 보이는 나머지 카드 4장의 ‘종류’와 ‘순서’입니다. 처음 5장의 카드를 확인한 마술사는 다른 마술사가 맞힐 ‘히든 카드’를 뒤집어 가장 왼쪽에 놓고 두 번째에는 히든 카드와 무늬가 같은 ‘키 카드’를, 히든 카드에 적힌 숫자를 알려줄 나머지 3장을 오른쪽에 놓아야 하죠. 트릭을 눈치챘나요?

비둘기집 원리에 의해 아무렇게나 5장을 뽑아도 무늬가 같은 카드가 반드시 2장 이상 있습니다. 만약 무늬가 같은 카드가 3장 이상이면 카드 중 아무거나 2장을 골라 히든 카드와 키 카드의 후보로 삼으세요. 

이제 2장 중 히든 카드와 키 카드를 정해보겠습니다. 알파벳을 각각 A=1, J=11, Q=12, K=13이라고 생각하고 무늬가 같은 카드를 머릿속에서 숫자 순서대로 시계 속 숫자처럼 원 모양으로 배열합니다.

이제 두 카드에 적힌 숫자를 이 배열에서 찾은 뒤 한 카드에서 다른 카드로 시계방향을 따라 움직였을 때 거리가 6 이하가 되도록 순서를 조정합니다. 예를 들어 3과 7이 적힌 카드 2장이 있을 때 3에서 7까지는 거리가 4, 7에서 3까지는 거리가 9이므로 카드의 순서는 3→7이고, 오른쪽 숫자(7)가 적힌 카드를 히든 카드, 왼쪽 숫자(3)가 적힌 카드를 키 카드로 정합니다(아래 그림 참고).

거리가 6 이하여야 하는 이유

히든 카드와 키 카드의 거리는 1과 6 사이입니다. 키 카드에 적힌 문자는 볼 수 있으니 거리만 알려주면 되겠죠? 나머지 카드 3장을 배열하는 방법이 6(=3!=3×2×1)가지이므로, 1~6까지의 숫자를 각 배열에 하나씩 대응시켜 키 카드의 숫자에서 히든 카드의 숫자까지의 거리를 나타낼 겁니다.

카드를 배열하기 전 먼저 3장의 카드를 ‘가장 큰 카드(가)’, ‘중간 카드(나)’ 그리고 ‘가장 작은 카드(다)’로 구분해야 합니다. 크기는 무늬로 정하며 스페이드가 가장 크고 하트, 다이아몬드, 클로버 순으로, 만약 무늬가 같다면 숫자가 큰 카드가 더 큰 것으로 합니다.

이제 ‘1=다나가, 2=다가나, 3=나다가, 4=나가다, 5=가다나, 6=가나다’라고 약속하고 카드를 배열해 거리를 알려줍니다. 예를 들어 히든 카드에 적힌 숫자가 키 카드보다 4만큼 크다면 카드를 나가다 순서로 배열하면 되죠. 어때요, 알고 보면 참 쉽죠?

질문 한 번으로 카드 꿰뚫어 보기

이번에는 동생인 제가 좀 더 쉬운 마음을 읽는 마술을 알려주죠. 우선 이 마술의 핵심인 ‘드 브루인 수열’의 성질부터 알아볼게요. 드 브루인 수열은 네덜란드 수학자 니콜라스 호버르트 드 브루인이 만든 수열로, 수열을 원 모양으로 배치한 뒤 어떤 수에서 시작해 시계방향으로 수를 읽어 같은 길이의 새로운 수열을 만들어도 성질이 변하지 않는다는 특징이 있어요. 

예를 들어 00010111을 4번째에 있는 1부터 시작하면 10111000인데, 여기도 마찬가지로 000, 001, 010…이 한 번씩만 나타나죠. 이제 드 브루인 수열에서 0과 1로 이뤄진 모든 세 자릿수가 한 번씩만 나오고 시작 수를 바꿔도 상관없다는 특징을 이용해 카드 뭉치를 만들 거예요.

드 브루인 수열로 카드 뭉치 만들기

카드 뭉치를 만드는 방법은 간단해요. 드 브루인 수열에서 0을 스페이드와 클로버처럼 무늬가 검정 카드, 1을 하트와 다이아처럼 무늬가 빨간 카드 중 하나로 바꾸는 거예요. 주의할 점은 카드의 순서와 종류를 외워야 하므로 쉽게 외울 수 있는 조합으로 카드 뭉치를 만들어야 한다는 거죠. 

자, 이제 오른쪽에 있는 클로버 A 카드가 맨 위에 있게 카드 뭉치를 만들어 참가자에게 건넸다고 해요. 만약 참가자가 카드 뭉치 아래에서 3장을 떼 위에 올렸다면 드 브루인 수열이 00010111에서 11100010으로 바뀔 겁니다. 나머지 2명의 참가자가 똑같은 행동을 해도 수열의 시작 수가 바뀔 뿐이죠!

이렇게 카드 뭉치를 섞은 뒤 맨 위에 있는 3장의 카드를 왼쪽 참가자부터 차례대로 나눠주고 무늬가 빨간 카드를 가진 사람이 누군지 물었다고 해봐요. 만약 두 번째 사람만 손을 들었다면 카드의 무늬 색은 검정, 빨강, 검정이고, 이것을 숫자로 나타내면 010이에요. 그런데 드 브루인 수열에서는 010이 정확히 한 번만 나타나므로 3명이 가진 카드는 카드 뭉치를 섞기 전 010에 대응하는 카드인 각각 클로버 9, 하트 2, 스페이드 K가 되는 거죠.

카드의  순서와 종류를 암기해야 하지만 형의 마술보다 훨씬 간단하죠? 마술을 더 신기하게 만들기 위해 팁을 한 가지 줄게요. 똑같은 카드 뭉치를 여러 벌 만들어 겹친 뒤 여러 장처럼 보이게 하면 더 신기해 보인답니다.

여러 벌 겹쳐도 마술을 하는 방법은 바뀌지 않아요. 그 이유는 여러분이 한 번 생각해보세요!