자칭 끈 마술의 대가 위프입니다. 전 수학을 좋아하는 만큼 몸을 움직이는 것도 좋아해서 머리와 몸을 함께 쓰는 마술을 좋아합니다. 이번 수업에서는 손가락에 꼬인 끈을 한 번에 풀어버리는 마술을 알려줄게요!
복잡하게 뒤엉킨 끈을 한 번에 풀어버리는 마술을 본 적 있을 거예요. 이런 마술은 특수한 끈을 이용하기도 하지만, 수학적 원리를 이용해 쉽게 풀리도록 꼰 뒤 푸는 것이기도 하죠. 이번 시간에는 손가락에 감은 끈을 한 번에 풀리도록 꼬는 방법을 배워볼게요.
먼저 끈이 꼬인 상태를 숫자로 나타내는 방법부터 알아볼 텐데, 이때 곱셈의 역원이라는 수학 개념을 이용해야 합니다. 곱셈의 역원은 쉽게 말해 어떤 수에 곱해서 1이 되는 수라고 생각하면 되는데, 2에는 을 곱해야 1이 되므로 2의 곱셈에 대한 역원은 1/2입니다. 이 수업에서는 1/2을 2-1로 나타낼게요.
역원이 필요한 이유는 위상수학자가 어떤 곡선의 상태를 곱셈의 역원을 이용해 표시하기 때문이에요. 위 곡선은 한 점 O에서 출발한 곡선이 두 점 a, b 사이에서 꼬여있죠?
이때 점 a를 시계방향으로 감은 것을 A, 점 b를 시계방향으로 감은 것을 B라 하면 A와 B의 역원은 각각 점 a를 반시계방향으로 감은 A-1, 점 b를 반시계방향으로 감은 B-1이에요.
위 곡선은 점 a와 점 b를 순서대로 시계방향으로 감은 뒤 다시 두 점을 반시계방향으로 감았으므로 ABA-1B-1로 나타낼 수 있어요.
이때 A와 그 역원 A-1이 곱해져 1이 된다는 건, 시계방향으로 꼬았다가 다시 반시계방향으로 꼬아서 끈이 풀리는 걸 뜻하죠. 이때 끈이 풀리려면 항등원과 역원이 붙어 있어야 해요. 예를 들어 B-1AA-1B는 끈이 풀리지만, B-1ABA-1은 풀리지 않죠.
잘 풀리게 꼬는 방법
이제 준비는 끝났으니 마술의 비법을 알려드릴게요. 오른쪽 새끼손가락부터 순서대로 A, B, C, D, E라고 생각하고 손가락에 끈을 꼬아가며 이를 역원을 이용해 표시해보세요. 만약 끈을 새끼손가락에 시계방향으로 연속해서 n번 꼬았으면 An으로 표시하면 됩니다.
어떻게 꼬아야 끈이 풀리냐고요? 이 마술의 핵심은 손가락 1개를 뺀 뒤 끈을 당긴다는 거예요. 두 손가락 A와 B에 끈을 ABA-1B-1인 상태로 꼬았을 때 손가락 B를 빼는 건 B와 B-1을 함께 지운다는 뜻이에요. 즉 ABA-1B-1은 AA-1=1이 돼 끈이 풀리는 거죠. 따라서 손가락 하나를 뺐을 때 끈이 풀리도록 하려면 한 알파벳을 지웠을 때 곱한 결과가 1이 되도록 미리 식을 만든 뒤 그대로 꼬면 되죠.
