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안녕하세요! 7번째 방송으로 돌아온 BJ맹추입니다! 오늘의 개념은 수학에서 ‘수’만큼 자주 등장하는 ‘각도’입니다. 다들 월드컵을 보고 있는지 시청자 수가 몹시 적군요. 월드컵도 좋지만, 오늘 방송을 놓치면 평생 후회할 각!

각도는 돌아오는 거야!

꼭 수학 교과서가 아니어도 각도는 일상적인 대화에서 많이 쓰는 수학 개념이에요. ‘90°가 되도록 조정해봐’, ‘180° 돌려볼까?’, ‘차가 360° 돌았어!’처럼 주로 회전한 정도를 수로 나타날 때 쓰지요. 수학적으로 엄밀하게 정의하면, 각도는 서로 만나는 두 선분 또는 직선이 벌어진 정도를 나타내는 개념이라고 할 수 있어요. 회전은 시곗바늘처럼 어떤 선분의 한 끝점을 고정한 채 처음 위치로부터 점점 벌어지는 거라고 할 수 있지요.

그런데 회전한다는 건 앞으로 가는 것과 달라서 제자리를 뱅글뱅글 돌게 됩니다. 그래서 각도가 달라도 위치는 같은 경우가 생겨요. 우리가 평소에 자주 쓰는 360°는 한 바퀴 돌아 제자리로 오는 각도인데, 400°, 1000° 같이 360°보다 큰 각도는 실제로는 40°, 280°와 똑같은 위치를 나타냅니다. 예를 들어 ‘제자리에서 400°만큼 회전했다’는 건 360°를 돌아 제자리로 돌아온 뒤 40°만큼 더 돈 거니까 처음부터 40°를 돈 것과 차이가 없는 거지요!

‘도(°)’는 마음 속에~.

방송을 보고 있는 초등학생, 중학생 여러분께 좋은 소식과 나쁜 소식을 알려주도록 하죠. 먼저 좋은 소식은 중학교를 졸업하는 순간 각도의 단위인 ‘도(°)’를 볼 일이 거의 없다는 겁니다. ‘각도를 배우지 않아도 된다!’, ‘각도 아웃!’ 등 반응이 아주 좋군요.

그런데 아직 좋아하긴 이릅니다. 도(°) 대신 새로운 단위를 배우거든요. 나쁜 소식도 있다고 미리 말했으니 ‘낚였다’는 말은 삼가주세요. 새로운 단위가 무엇인지 알아보기 전에 우선 도(°)는 무엇이고 왜 새로운 단위가 필요한지부터 살펴보도록 하죠.

단위를 사용하는 이유는 뭘까요? 길이 단위인 cm와 m를 떠올려 보세요. 특정 길이를 정해서 ‘1cm로 나타내자’고 약속하면 15cm, 30cm, 60.5cm처럼 어떤 길이든 구체적인 수로 나타낼 수 있기 때문이에요. 각도 역시 도(°)라는 단위를 써서 얼마나 회전했는지 구체적인 수로 나타내는 거지요.

그래서 한 바퀴 회전했을 때 각의 크기를 ‘360’으로 정하고 단위를 ‘도(°)’라고 쓰기로 한 겁니다. 왜 하필 360으로 정했는지는 기록으로 남아있지 않지만, 학자들은 1년의 길이인 365일과 비슷한 수이기 때문이라거나 360이 약수가 많아서 나누기 좋기 때문이라고 추측해요.

도(°)는 편리하지만, 360은 크기가 너무 커서 쓰기에 불편합니다. 각을 효율적으로 쓰려면 더 작고 편한 단위가 필요했기 때문에 수학자들은 ‘라디안(rad)’이라는 새로운 단위를 만들었어요. 실제로 도(°)는 미터(m)나 리터( ), 라디안(rad)처럼 국제 단위계에 등록된 공식 단위가 아니라는 사실!

각도에 붙은 별별 이름들

라디안을 본격적으로 소개하기 전에 각도에 관해 자주 쓰는 명칭을 짚어보도록 하죠! 보통은 90°를 ‘직각’, 90°보다 작은 각을 ‘예각’, 90°보다 큰 각을 ‘둔각’이라고 합니다. 그런데 이외에도 재밌는 이름들이 있어요.

우선 180°는 각도를 이루는 두 선분이 한 선분처럼 평평하기 때문에 ‘평각’이라고 해요. 꼭짓점과 두 변이 공통이고, 합이 360°인 두 각을 ‘켤례각’이라고 하는데, 이중 180°보다 작은 각은 ‘열각’, 큰 각은 ‘우각’이라고 합니다. 비슷하게 ‘여각’과 ‘보각’도 있습니다. 30°와 60°처럼 합이 90°인 각을 서로 여각이라고 하고 180°면 보각이라고 하지요. 별별 이름을 다 붙였죠?

새로운 단위, 라디안!

새로운 단위인 라디안을 알아보기 전에 우선 원주율(π)이 무엇인지부터 알아야 합니다. 여러분 이 어려워하는 ‘수학적인 정의’부터 말하면 원주율은 원의 지름에 대한 둘레의 비율이에요. 쉽게 말해 원의 지름에 π를 곱하면 정확히 둘레의 길이가 나온다는 뜻이지요. 여기서 중요한 건, 원의 크기에 상관없이 이 비율은 똑같고 π가 ‘무리수’라는 점이에요.

그런데 π와 라디안이 무슨 관계냐고요? 1rad은 위 그림처럼 원의 반지름과, 길이가 반지름과 같은 호가 이루는 각도입니다. 자, 여기서 질문! 그렇다면 몇 라디안만큼 회전해야 정확히 한 바퀴를 돌 수 있을까요? 원주율의 의미를 곰곰이 생각해 보면 알 수 있습니다!

원의 반지름을 r이라고 하면 1rad은 호의 길이가 r일 때를 뜻해요. 따라서 ‘1:r=x:2πr’이라는 비례식을 세울 수 있어요. 비례식을 풀면 답은 x=2π입니다. 즉 2πrad이 360°와 같은 셈이에요!

도(°)를 라디안(rad)으로 바꾸려면?

처음 각도를 배울 때 도(°)로 배웠기 때문에 도(°)로 나타낸 각도를 라디안으로 바꿀 수 있어야 해요. 복잡할 것 같지만 등식의 성질과 분수를 이용하면 자유자재로 바꿀 수 있어요.

우선 2πrad이 360°이므로 단위를 생략하고 등식으로 쓰면 ‘2π=360’입니다. 양변에 같은 값을 곱해도 등식은 성립하므로 적당한 분수를 곱해 원하는 각도를 만들면 됩니다. 예를 들어 180°을 라디안으로 나타내고 싶으면 양변에 1/2을 곱하면 되니까 180°는 πrad이에요. 반대로 π/4rad을 도(°)로 바꾸려면 2π=360의 양변에 1/8을 곱하면 되니까 π/4=45가 돼서 45°가 되는 걸 알 수 있지요. 아
주 간단하죠?

각도를 기억해라!

벌써 7번째 방송을 마칠 시간이 왔습니다. 이제 ‘각도’에 대해 좀 알 것 같나요? 각도는 도형을 배울 때 잠깐 나오는 개념이니까 별로 중요하지 않다고 생각하는 시청자가 있어요. 그런데 각도는 수학에서 아주 중요한 개념인 삼각비, 삼각함수를 배울 때 꼭 필요하기 때문에 열심히 공부해 두는 게 좋습니다.

게다가 각도는 일상에서도 자주 사용하는 개념이니까 자세히 알아두면 도움이 될 거예요. 물론 ‘지리는 각’, ‘오지는 각’에 나오는 각을 말하는 건 아닙니다. 자, 그럼. 8번째 방송을 기대하면서 저는 이만 물러갑니다. 뿅!