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※ 손대원 선생님은 컴퓨터 수학 프로그램에 관심이 많아서 GSP5와 Cabri3D의 한글화 팀장으로 활동했으며, 2012년부터 수석교사로 활동하고 있습니다. 요즘은 컷팅프린터를 이용해 체험수학교구를 개발하는 디자이너로 활동하고 있습니다.

다면체 면을 여러 삼각형으로 나눌 수 있다. 삼각형으로 만든 입체 구조는 다면체를 더욱 튼튼하게 만들어 준다. 정다각형의 중심 분할을 응용해 육팔면체를 만들어 보자.

정다면체를 만드는 아이디어

엮어 만들기

직물은 날실과 씨실이 직각을 이루면서 짜인 옷감이다. 날실은 세로 방향으로 놓이며, 씨실은 가로 방향으로 건너놓아 짠다. 직물을 짜는 일은 세로로 놓인 날실에 씨실을 가로로 건너 엮는 과정이다. 이 과정을 반복하면 평면을 만들 수 있다.

엮어 만드는 아이디어를 평면에서 입체로 확장할 수 있는데, 실생활에서 많이 쓰이는 것은 대나무로 만든 바구니다. 대나무 공예품의 엮기 방법은 6각형 엮기, 2칸 띄어 엮기, 3칸 띄어 엮기, 그물형 엮기, 십자형 묶어 엮기 등 다양하다. 주로 바닥을 먼저 짜고 바닥을 들어 올려 옆면을 짠 뒤, 테두리를 마감하는 세 단계로 이뤄진다.

유닛 만들기

유닛을 이용하는 아이디어는 종이접기로 입체를 만들 때 많이 쓴다. 같은 유닛을 여러 개 만들어 연결하면 쉽고 빠르게 입체를 만들 수 있다. 수학공작실에서 소개했던 정다면체 장식공예(2018년 2월)나 플렉스칼레이도사이클(2018년 3월)에도 유닛을 이용한 아이디어가 쓰이는데, 입체를 만드는 핵심은 유닛을 어떻게 만드느냐다. 중심 분할을 응용해 유닛을 만들어 보자.

중심 분할

정다면체는 1가지 유닛으로 만들 수 있다. 정다면체를 이루는 유닛은 점대칭인 것이 특징인데, 유닛을 점대칭 도형★이 되도록 만들기 위해서는 먼저 무게중심에서 각 꼭짓점 방향으로 그은 선으로 정다각형을 나눠서(중심 분할) 삼각형 조각으로 만들어야 한다.

점대칭 도형★ 도형을 대칭점을 중심으로 180° 회전시켰을 때, 처음과 합동이 되는 도형을 말한다.

예를 들어 정사각형으로 정육면체 유닛을 만들 수 있다. 먼저 ➊처럼 중심 분할한 두 정사각형을 이어 붙인 뒤, 빨간색 선을 따라 4조각만 잘라낸다. 그러면 점선의 중점이 대칭점인 점대칭 도형이 되고, 이를 활용해 정육면체를 만들 수 있다. 준정다면체인 육팔면체는 정삼각형과 정사각형을 이어 붙여 유닛을 만들 수 있다. 정삼각형과 정사각형을 무게중심으로 중심 분할해 ➋처럼 빨간색 선을 따라 잘라내면 된다.