무한히 많은 손님에게 방을 내어주는 무한호텔이 어디에 있냐고요? 수학의 세계에서는 가능합니다. ‘무한히 크다’는 표현을 이해하면 여러분도 무한호텔에 찾아갈 수 있어요.
무한히 크다는 뜻인 ‘무한대’는 어떤 수보다도 큰 상태입니다. 수를 끝없이 나열한 수열을 생각해 봅시다. 만약 아무리 큰 수 M을 생각하더라도 이 수열의 n번째 수 이후의 모든 수가 M보다 더 크면 이 수열을 ‘무한히 커진다’ 또는 ‘무한대로 발산한다’고 표현합니다. 무한대로 발산하는 수열은 항상 아무리 큰 수 M보다도 더 큰 수를 갖고 있기 때문에 그 끝을 찾을 수 없는 것이지요.
무한히 크다는 뜻인 ‘무한대’는 어떤 수보다도 큰 상태입니다. 수를 끝없이 나열한 수열을 생각해 봅시다. 만약 아무리 큰 수 M을 생각하더라도 이 수열의 n번째 수 이후의 모든 수가 M보다 더 크면 이 수열을 ‘무한히 커진다’ 또는 ‘무한대로 발산한다’고 표현합니다. 무한대로 발산하는 수열은 항상 아무리 큰 수 M보다도 더 큰 수를 갖고 있기 때문에 그 끝을 찾을 수 없는 것이지요.
소수점 아래가 모두 0은 아닌 숫자가 끝없이 계속되는 ‘무한소수’도 무한을 이해하는 데 빼놓을 수 없습니다. 소수점 아래 9가 무한히 많은 0.999…는 무한소수기도 하지만 결국 1과 같습니다. 0.999…는 9가 무한히 많아서 1을 향해 움직이는 존재라고 오해하기 쉽지만, 이보다 크고 1보다 작은 실수를 찾을 수 없기 때문에 1과 같은 수라고 봐야 합니다. 유한한 세계에서 보는 무한은 무한히 신비롭습니다.
★ 정수 남매가 어떤 수학 용어를 쉽게 설명해주면 좋을지 이메일(gahyun@donga.com)로 의견을 주세요. 채택된 독자에게는 소정의 상품을 드립니다.
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