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하루 만에 철회된 논문
외로운 주자 추측은 주자가 7명 있을 때까지만 해결돼 있습니다. 그런데 지난 6월, 마티아스 벡 미국 샌프란시스코주립대 교수가 주자가 n명일 때를 증명했다면서 논문을 올리는 웹사이트인 아카이브에 연구 결과를 올렸습니다. 수학자들은 외로운 주자 추측이 풀렸다는 소식에 깜짝 놀랐고, 이 논문에 관심을 보였습니다. 하지만 하루 만에 오류를 발견하고 논문을 철회하는 일이 벌어졌습니다.

벡 교수는 부등식을 사용해 문제를 풀었는데, 마지막 부등식이 n=0일 때가 성립하지 않는 것을 그냥 지나쳐서 증명이 틀렸던 겁니다. 때때로 이런 사소한 오류로 증명 전체가 날아가는 일이 있습니다. 정말 아쉽지요? 이 오류는 테렌스 타오 캘리포니아주립대 로스앤젤레스캠퍼스 교수가 발견해 벡 교수에게 알려줬습니다.

수학자는 문제를 해결하기 위해 다양한 방법을 시도합니다. 때로는 문제를 바꾼 뒤, 이렇게 바꿔 풀어도 원래 문제를 푼 것과 같다는 사실을 증명합니다. 외로운 주자 추측도 그렇게 바꾼 문제가 있습니다. 바로 각 주자의 속도를 정수로 가정하고 풀어도 된다는 것이지요. 속도가 무리수나 소수가 아니어도 되기 때문에 조금 쉽게 풀 수 있습니다. 또 주자 중 한 명의 속도를 0으로 가정해도 되지요. 따라서 이 문제는 다음과 같이 바꿀 수 있습니다.

2011년에는 폴란드의 수학자 세바스티안 체르빈스키가 흥미로운 사실을 알아냈습니다. 1부터 N까지의 정수 중에서 서로 다른 속도 n개를 같은 확률로 뽑아 주자의 속도를 정했을 때, 각 주자에 대해 다른 모든 주자가 0.4999km 밖에 있는 순간이 발생할 확률은 N이 무한히 커지면 1에 수렴한다는 것입니다. 다시 말해서 주자가 아주 많다면 1nkm를 0.4999km로 바꿔도 이 문제가 성립할 가능성이 매우 커진다는 겁니다.


여러분도 문제에 도전하세요!
가끔 이렇게 쉬워 보이는 문제가 40년 이상 미해결로 남아 있어 놀라울 때가 있습니다. 처음 이런 문제를 접하면 수학자는 고등학교 때 배우는 수학적 귀납법을 사용합니다. 먼저 n값이 작은 경우에 대해 증명하고, n=k일 때 참이면 n=k+1일 때도 참이라는 것을 보이는 것이지요. 아쉽게도 이 문제를 수학적 귀납법으로 풀 수 있는지 아무도 모릅니다. 어쩌면 여러분이 아직까지 알려지지 않은 기발한 방법으로 해결할 수도 있습니다.

그러니 이 문제를 수학적 귀납법으로 해결할 수 있는지, 아니면 조금 더 쉽게 미해결인 8명의 주자가 달릴 때 문제를 풀 수 있는지 혹은 문제를 다음과 같이 바꿨을 때 해결할 수 있는지 생각해 보세요.