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오개념 탈출, 정다각형

정다각형과 관련해서 헷갈리는 내용을 문제로 출제했습니다. 2번과 5번만 틀렸고 나머지는 맞습니다. 흔히 정다각형을 모든 변의 길이가 같은 도형으로 알고 있습니다. 하지만 네 변의 길이가 모두 같은 마름모는 안쪽 각의 크기가 모두 같지 않아 정다각형이 아닙니다. 정다각형의 정확한 정의는 모든 변의 길이가 같고, 모든 각의 크기가 같으며, 각각의 변이 자기 자신과 교차하지 않는 다각형을 말합니다.

정다각형의 한 꼭짓점에서 이웃하는 두 변으로 이뤄진 각을 내각이라고 합니다. 쉽게 말하면 정다각형 안쪽에 있는 각이죠. 한 정다각형에 대해 이 각은 항상 그 크기가 같습니다.

정다각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 모두 그리면 삼각형이 ‘정다각형의 변의 개수(n)-2’만큼 생깁니다. 정육각형이라면 삼각형이 4개, 정십각형이라면 삼각형 8개 생기지요. 그런데 삼각형의 내각은 합은 항상 180°이기 때문에 정다각형의 내각의 총합은 180×(n-2)가 됩니다. 따라서 정다각형의 한 내각의 크기는 {180×(n-2)}÷n입니다.

내각과 달리 바깥쪽에 있는 외각은 정다각형의 한 내각의 꼭짓점에서 한 변과 그 변에 이웃한 변의 연장선이 이루는 각입니다. 따라서 정다각형의 한 꼭짓점에서 외각과 내각의 합은 항상 180°이지요. 이 성질을 이용하면 한 외각의 크기를 구하는 공식을 알아낼 수 있습니
다. 모든 정다각형의 한 꼭짓점에서 내각과 외각의 합은 180°이고, 이런 내각과 외각이 n개씩 있으므로 n×(내각+외각)=n×180°입니다.

여기에 내각 공식을 대입하면 n×[[{180°×(n-2)}÷n]+외각]=n×180°가 되고, 결국 정다각형의 한 외각은 360°÷n이 되지요. 또 정다각형의 모든 외각의 합은 항상 360°가 됩니다. 정다각형의 한 외각은 n이 커지면 커질수록 그 크기가 0°에 가까워집니다. 즉 변이 많으면 많을수록 정다각형은 원에 가까워집니다.







콘텐츠·도움 : 김재휘(엔트리교육연구소 연구원)