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집합의 포함관계를 한 눈에 쉽게, 벤 다이어그램!

‘벤 다이어그램’은 영국의 논리학자 존 벤의 이름을 따 지은 것으로, 집합의 포함관계를 나타내는 그림이다. 1880년 존 벤이 쓴 ‘명제와 논리의 도식적·역학적 표현에 관하여’라는 논문에서 처음 등장했다. 당시 집합 사이의 관계를 도형이나 도표로 나타낸 사례는 흔하지 않아서 벤 다이어그램은 순식간에 널리 알려졌다.

그런데 이런 도식화를 존 벤이 처음 쓴 것은 아니었다. 벤 다이어그램보다 약 100년 먼저 벤 다이어그램과 아주 비슷한 그림을 쓴 수학자가 있었는데, 바로 오일러다. ‘오일러 다이어그램’ 또는 ‘오일러 원’이라고도 부르는데, 벤다이어그램과 비슷하지만 조금 다르다. 예를 들어 집합 A={1, 2, 5}, B={1, 6}, C={4, 7}이 있다고 하자. 세 집합의 포함관계를 오일러 다이어그램과 벤 다이어그램으로 각각 나타내면 오른쪽과 같다.

벤 다이어그램은 각 집합에 공통으로 있는 원소의 유무에 상관없이 세 집합이 모두 겹쳐지게 그린다. 세 집합의 모든 부분집합이 드러나도록 말이다. 반면 오일러 다이어그램은 공통의 원소가 없을 경우 집합을 따로 그린다. 벤 다이어그램은 오일러 다이어그램의 특수한 경우인 셈이다.


집합의 수가 많아지면 벤 다이어그램을 그리기 어려워진다. 존 벤도 집의 수가 6개인 경우까지만 벤 다이어그램을 제시했다. 이후 많은 수학자들은 집합의 수가 더 많을 경우 벤 다이어그램을 어떻게 그릴 수 있을지 주목했다. 또 그릴 수 있다면 대칭의 아름다움이 돋보이는 벤 다이어그램을 만들기 위해 노력했다.
 “활짝 핀 꽃을 닮았죠?” 브랑코 그뤼바움

대칭 벤 다이어그램 만들기를 가장 먼저 시도한 수학자는 유고슬라비아 출신의 수학자 브랑코 그뤼바움이다. 미국 워싱턴대 수학과 교수인 그뤼바움은 타원을 이용해 집합이 5개일 때의 회전 대칭 벤 다이어그램을 만들었는데, 그 모양이 마치 활짝 핀 꽃을 닮았다. 이 밖에도 정사각형과 삼각형으로 이뤄진 다양한 벤 다이어그램을 찾아냈다.
집합이 5개일 때 다양한 대칭 벤 다이어그램을 찾은 그뤼바움 교수는 집합의 수가 더 많은 경우에서도 대칭 벤 다이어그램을 찾기 위해 시도했다. 그 결과, 좀 더 화려한 꽃 모양의 대칭 벤 다이어그램을 찾아냈다. 그런데 다른 곳에서 같은 벤 다이어그램을 독립적으로 찾아낸 수학자가 있었다.


캐나다 빅토리아대 컴퓨터과학과 프랭크 러스키 교수다. 프랭크 러스키 교수는 집합의 수가 많아져도 대칭 벤 다이어그램을 그릴 수 있는지에 관심을 갖고 연구하고 있었다. 그 결과 집합의 수가 소수일 경우 대칭 벤 다이어그램을 그릴 수 있다는 사실을 증명했다. 증명한 뒤 실제로 처음 찾아낸 것이 바로 그뤼바움 교수가 찾은 것과 똑같은 오른쪽 회전 대칭 벤 다이어그램으로 집합의 수는 7개다.“아이스크림 콘 모양으로 만들어 봤어요!” 릭 마브리

집합이 3개인 벤 다이어그램이 브루니안 고리와 닮았다는 점에서 영감을 얻은 미국 루이지애나대 수학과 릭 마브리 교수는 아이스크림 콘 5개가 서로 얽혀 있는 재밌는 모양의 벤 다이어그램(왼쪽)을 만들었다. 최근 마브리 교수는 자신의 제자와 함께 집합이 7개인 브루니안 고리 형태의 벤 다이어그램(가운데)을 찾아냈다. 그뤼바움과 러스키 교수가 독립적으로 각각 발견한 대칭 벤다이어그램 이후 두 번째로 발견한 집합 7개의 회전 대칭 벤 다이어그램이다.

                                        




“예술가인 아내와 함께 만들었죠!” 피터 햄버그

집합의 개수가 소수일 경우 대칭 벤 다이어그램이 있다는 사실이 증명된 이후, 미국 중부 주립대 수학과 피터 햄버그 교수는 예술가인 아내 에디 헤프와 함께 대칭 벤 다이어그램을 찾기 위해 노력했다. 그 결과, 2002년 집합이 11개인 경우의 대칭 벤 다이어그램을 찾아냈다. 두 사람이 발견한 대칭 벤 다이어그램은 집합의 영역이 무려 211=2048개여서 영역의 개수를 세기가 어렵다. 2048개의 영역에 서로 다른 색을 칠해 복잡하지만 완벽한 대칭이 돋보이는 예술 작품이 탄생했다. 오른쪽 선으로 된 그림은 11개의 집합 중에서 하나를 나타낸 것이다. 두 사람은 이 대칭 벤 다이어그램을 2005년 수학과 예술을 접목한 브릿지 학술대회에서 발표하기도 했다.