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2015년 8월, 전에 없던 오각형 타일이 세상에 모습을 드러냈다. 미국 워싱턴대 수학과 케이시 만 교수와 그의 아내 제니퍼 맥루드 교수는 2년 전부터 평면을 빈틈없이 덮을 수 있는 오각형 타일을 찾고 있었다. 두 교수는 프로그래밍 실력이 뛰어난 학부생 데이비드 폰 데라우와 팀을 이뤘고 마침내 이어 붙여도 빈틈이 생기지 않는 볼록오각형을 찾아냈다.

이들이 찾은 오각형은 다섯 각이 150°, 60°, 135°, 105°, 90°이고, 이 각이 마주보는 변의 길이를 각각 c, d, e, a, b라고 할 때, b, d, e가 같고 a가 e의 두 배다. 이렇게 평면을 빈틈없이 채우는 볼록 오각형이 발견된 것은 1985년에 열네 번째 오각형이 발견된 이후 30년 만이다.

볼록 오각형은 평면을 빈틈없이 채울 수 있는 도형의 조건을 만족한다. 정다각형 가운데 내각★의 크기가 360° 의 약수인 경우는 정삼각형(60°), 정사각형(90°), 정육각형(120°)뿐이다. 즉, 정오각형 모양의 타일만으로는 바닥을 빈틈없이 덮을 수 없다. 그리고 변의 개수가 6개를 넘는 볼록 다각형★으로는 평면을 빈틈없이 덮을 수 없다는 것이 수학적으로 증명됐다.



자유롭게 변신하는 타일

케이시 만 교수 연구팀이 찾은 것을 포함하면 지금까지 발견된 볼록 오각형은 모두 열다섯 가지다. 하지만 조건에 맞게 변의 길이와 각의 크기를 조절하면 실제로 만들수 있는 타일의 모양은 열다섯보다 많다. 예를 들어, 여섯 번째 볼록 오각형은 다섯 각의 값을 바꾸면 위 그림처럼 나비의 날개를 닮은 오각형으로 바꿀 수 있다. 하지만 열네 번째 오각형처럼 모든 각의 크기와 모든 변의 비율이 정해져 있는 경우도 있다. 오각형의 모양이 딱 한 가지이므로 이 도형을 써서 평면을 채우는 방법도 한 가지밖에 없다.

1985년 이후 평면을 채우는 새 볼록 오각형을 찾기까지 오랜 시간이 걸렸다. 그동안 많은 사람들이 더 이상 바닥을 덮을 수 있는 오각형은 없을 것이라고 생각했다. 하지만 결국 만 교수는 새로운 오각형을 찾아냈다. 열여섯 번째 오각형이 언제 어디서 발견될지는 아무도 모른다. 그래서 나는 화장실을 떠날 마음이 없다. 난 어디서든 재미를 찾는 수학자일 뿐이니 더 이상 오해는 없기를 바란다.