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세상 모든 띠는 한 번 비틀어 붙이기만 하면 수학적인 작품이된다. 당신이 생각하는 바로 그 뫼비우스의 띠 말이다. 누구나 아는 뫼비우스의 띠지만 지금도 여기서 영감을 얻은 연구 결과가 꾸준히 나오고 있다. 화장실은 변기에 앉아서도 뫼비우스의 띠를 만들 수 있는 곳이다. 믿기 어렵겠지만 내가 화장실을 좋아하는 이유 중 하나다
19세기 독일의 수학자 아우구스트 페르디난트 뫼비우스는 손가락으로 면을 따라 훑으면 모든 면을 거치게 되는 띠를 발견했다. 그의 이름을 딴 ‘뫼비우스의 띠’는 바깥쪽 면과 안쪽 면이 구분되지 않는다. 독특한 성질에 비해 만드는 방법은 간단하다. 길고 네모난 띠를 한 번 꼰 다음 양 끝을 붙이면 된다.
뫼비우스의 띠는 독특한 성질 때문에 그림과 음악, 문학에 자주 나타난다. 네덜란드의 판화가 ‘마우리츠 코르넬리스 에스허르’의 작품 ‘뫼비우스의 띠 Ⅱ’가 대표적이다. 이 작품 속에서는 개미 한 마리가 뫼비우스의 띠 위 를 걷고 있다.
뫼비우스의 띠가 풀리는 순간을 잡아라
뫼비우스의 띠를 만들어 본 사람은 많지만, 띠가 풀리는 순간을 관찰한 사람은 드물다. 종이가 아니라 변형 가능한 물질로 만든 뫼비우스의 띠는 바깥쪽 면과 안쪽 면이 따로 있는 보통의 띠로 풀리기도 한다.
2010년 10월, 영국 케임브리지대 응용수학 및 이론물리학과 레이먼드 골드스타인 교수 연구팀은 뫼비우스 띠처럼 면이 1개뿐인 비누막이 앞면과 뒷면이 있는 보통의 비누막으로 바뀌는 과정을 촬영하는 데 성공했다.
연구팀은 먼저 얇은 낚싯줄을 두 번 돌려 감은 다음, 끝을 붙여 둥근 틀을 만들었다. 그리고 형광색소가 들어있는 손 세정제와 글리세린을 물에 풀어 빛에 반사돼도 잘 보이는 비눗물을 만들었다. 그 다음 앞서 만든 틀을 이 비눗물에 담갔다가 뺐다. 그 결과 낚싯줄로 만든 경계선 안쪽에 뫼비우스의 띠 모양의 비누막이 생겼다. 연구팀이 이 경계를 비틀자 비누막은 경계선을 따라 점점 넓어졌다. 그러더니 순식간에 앞뒷면이 확실하게 구분되는 보통의 비누막으로 변했다!
뫼비우스의 띠 모양인 비누막이 보통의 비누막으로 변하는 순간은 막의 경계선 위의 한 점에서 일어났다. 연구팀은 이 지점을 ‘특이점’이라고 불렀다. 특이점이 왜 경계선 위에서 생기는지는 아직 풀리지 않았다. 연구에 참여한 영국 케임브리지대 응용수학 및 이론물리학과 키이스 모팻 교수는 <;수학동아>;와 주고받은 이메일에서 “갑작스럽게 막의 기하학적 상태가 바뀌는 과정은 단순하지만 증명하기 어려운 예로, 연구할 만한 가치가있다”고 말했다.
띠 모양의 비밀은 탄성에너지
뫼비우스의 띠의 모양에도 비밀이 있다. 뫼비우스의 띠를 만드는 방법은 유명하지만, 그동안 어째서 띠가 어느 부분에서는 휘어져 있고, 어느 부분에서는 비교적 평평한지 그 이유를 알지 못했다. 2007년에 비로소 그비밀이 한 꺼풀 벗겨졌다. 비밀을 밝힌 사람은 영국 유니버시티 칼리지 런던 토목환경공학과 게르트 반 데르하이덴 교수와 유진 스타로스틴 교수다.
고무줄을 잡아당기면 줄이 원래대로 돌아가려고 하는 것처럼 종이 띠도 휘었을 때 원래대로 펴지려는 성질이 있다. 이런 성질을 ‘탄성’이라고 한다. 두 교수는 나노 입자만큼 미세한 수준에서 보면 종이 띠가 휘면서 그 지점에 탄성 에너지가 쌓인다고 설명했다. 많이 휜 부분일수록 에너지가 더 많이 쌓인다.
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Intro. 화장실로 간 수학자
Part 1. 뫼비우스의 띠가 남긴 숙제
Part 2. 물거품은 매듭을 알고 있다
Part 3. 벽과 바닥에 숨은 난제
