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“와~! 아빠, 이렇게 큰 별자리 지구본은 어디서 구하셨어요?”
“하나랑 두리랑 겨울 별자리 보려고 이 아빠가 큰 맘 먹고 준비했지. 하하!
망원경으로 하늘을 보렴. 저기 오리온자리가 있구나!”
“저런 별이 제 방에도 있으면 좋겠어요.”
“별을 따올 수는 없지만, 방법은 있지! 예쁜 별을 만들어 볼까?”


정다면체 속에 행성이 있다?!

오래 전, 별을 사랑한 천문학자가 있었다. 행성 궤도가 원 모양이 아니라 타원 모양이라는 것을 발견한 이 사람은 자신의 이름을 딴 3가지의 법칙을 발견해 천문학에 큰 업적을 세웠다.

이 사람은 바로 유명한 천문학자이자 수학자이기도 했던 독일의 요하네스 케플러다. 케플러는 천문학에서 위대한 업적을 남겼지만, 행성의 모양이나 궤도를 정다면체와 연관지어 생각할 만큼 수학에도 각별한 관심과 애정을 갖고 있었다.

케플러는 행성의 운동에 대해 여러 가지 가설을 만들었는데, 그 중 재미있는 것이 하나 있다. 그 당시까지만 해도 알려진 행성은 수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성으로 6가지였는데, 이것을 정다면체가 5개인 것과 연관지어 설명한 것이다.

먼저 큰 구 하나를 그린다. 토성의 궤도가 이 구에 놓인다. 그 다음 구에 내접하는 정육면체를 넣고, 정육면체 안에 다시 내접하는 구를 그린다. 이 구에 목성의 궤도가 놓인다. 이런 방법으로 그림을 그리면, 토성의 궤도(구)<;정육면체<;목성의 궤도(구)<;정사면체<;화성의 궤도(구)<;정십이면체<;지구의 궤도(구)<;정이십면체<;금성의 궤도(구)<;정팔면체<;수성의 궤도로 나타난다. 정다면체가 다섯 개밖에 없다는 사실로 행성이 6개 존재함을 설명한 것이다.

정다면체와 행성에 관심이 많았던 케플러는 1609년, 별을 닮은 입체도형 하나를 발견했다. 크기가 같은 정사면체 2개를 겹쳐 놓은 이 별은 다섯 가지 정다면체를 합쳐 만드는 복합 다면체 중 가장 간단한 입체도형이다.

복합 다면체란, 정다면체의 조합으로 만든 입체를 뜻한다. 이렇게 해서 케플러의 첫 번째 별이 탄생했다.




오목한 정다면체도 있다!

1609년 첫 번째 별을 발견한 이후, 케플러는 또 다른 두 가지 별을 더 발견했다. 이 두 가지 별 역시 정다면체와 관련이 있다.

정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정이십면체와 같은 ‘플라톤의 정다면체’는 모든 면이 합동으로 이뤄져 있고, 한 꼭짓점에서 만나는 면의 개수가 똑같은 볼록다각형을 뜻한다.

그런데 여기서 볼록다각형이라는 조건을 제외하면 어떻게 될까?

케플러는 볼록하지 않은 다각형중에 나머지 정다면체의 조건을 만족하는 다면체를 찾아보았다. 그 결과 1691년 그림❶, ❷와 같이 별을 닮은 다면체 2개를 찾았다.

그림❶ 다면체는 면이 12개, 모서리는 30개, 꼭짓점은 12개로 이뤄져 있다. 그리고 좀 더 뾰족한 그림❷ 다면체는 그림❶과 면의 개수와 모서리의 개수는 같지만, 꼭짓점의 개수가 8개 더 많은 20개로 이뤄져 있다.

이렇게 케플러가 발견한 2개의 별 말고도 오목한 정다면체는 2가지가 더 있었다. 나머지 2개의 오목한 정다면체는 케플러가 2개의 별을 발견한 1609년에서 200년이 지난 1809년, 프랑스의 수학자 포인샷에 의해 발견됐다.

포인샷이 발견한 오목한 다면체 중 하나인 그림❸ 다면체는 그림❶과 면, 모서리, 꼭짓점의 개수가 같지만 그 모양은 케플러의 별과는 완전히 다르다. 또 그림❹ 다면체는 면이 20개, 모서리가 30개, 꼭짓점이 12개인 오목한 정다면체다.

이렇게 오목한 정다면체 4개가 발견된 이후에도 많은 수학자들은 오목한 정다면체를 찾으려는 노력을 계속했다. 그러나 1813년 프랑스의 수학자 코시는 오목한 정다면체가 더 이상 없다는 사실을 증명해, 정다면체를 찾는 수학자들의 노력에 종지부를 찍었다.