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폴 : 역시! 나랑 아밀리는 뭔가 통한다니까. 안 그래도 내가 나무를 구해 왔거든.
앤드류 : 그러면 별모양 다면체를 만들어서 장식해 보자. 이참에 ‘별모양화’에 대해서도 알아 보고!
반짝이는 별을 닮은 다면체
12월에는 많은 사람들이 손꼽아 기다리는 크리스마스가 있다. 그래서 12월초부터 백화점이나 교회에서는 크리스마스 분위기를 내기 위해 건물 외벽이나 나무에 장식을 한다. 가정집도 예외는 아니라서 가족이 함께 크리스마스 트리를 만들기도 한다. 그렇다면 이번 크리스마스에는 ‘별모양 다면체’로 트리를 꾸며 보는 건 어떨까?
별모양 다면체는 1811년 프랑스 수학자 오귀스탱 루이 코시가 이름 붙인 도형으로, 볼록하지 않은 다면체를 일컫는다. 수학에서는 다면체의 어느 면을 연장해도 그 평면이 다면체의 내부를 자르지 않으면 ‘볼록다면체’라고 한다. 만약 어떤 한 면을 연장했을 때 다면체가 잘린다면 별모양 다면체가 된다.
사실 별모양 다면체는 일반적인 다면체로부터 탄생했다. 다면체의 각 모서리를 연장해서 볼록하지 않게 만드는 ‘별모양화’를 한 것이 별모양 다면체이기 때문이다. 그렇다면 정다면체를 별모양화하면 어떻게 될까?
정사면체와 정육면체는 어떻게 변형해도 별모양 다면체가 만들어지지 않는다. 하지만 정팔면체는 각 면을 이루는 삼각형을 밑면으로 삼각 피라미드를 만들면 별모양 다면체가 된다. 일명 ‘별팔면체’다.
정십이면체는 3가지 형태로 만들 수 있는데, 이들 모두는 모든 면이 정다각형으로 이뤄져 있어 볼록하지 않은 정다면체가 된다. 그래서 따로 ‘케플러-푸앵소 다면체’라는 이름이 있다. 독일의 수학자 요하네스 케플러와 프랑스의 수학자 루이 푸앵소가 발견했기 때문이다. 정이십면체는 무려 59가지 형태로 만들 수 있다. 이 중 한 가지가 케플러-푸앵소 다면체다.
이번 수학실험실에서 만나 볼 별팔면체는 ‘소노베’를 이용하면 쉽게 만들 수 있다. 소노베는 오리가미로 만든 평행사변형 모양으로 여러 개를 끼워맞춰 다양한 모양을 만들 수 있다. 이 소노베로 별팔면체뿐만 아니라 별이십면체까지 만들 수 있다.
