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고대 그리스의 수학자 아르키메데스는 전 우주를 모래알로 가득 채우려면 얼마나 많은 모래알이 필요한지 현대의 지수 개념을 이용해 계산했다. 하지만 당시에는 같은 수를 여러 번 곱할 때 편리하게 쓰이는 지수 표기법이 없어 계산은 매우 복잡했다. 오늘날 쓰이는 편리한 지수 표기법은 누가 최초로 사용했을까?

모래알로 우주를 가득 채우려면 얼마나 많은 모래알이 필요할까?

아르키메데스는 질문에 대한 답을 찾기 위해 먼저 매우 큰 수를 어떻게 불러야 할지 정해야 했다. 고대 그리스 당시에는 큰 수를 만 단위로 끊어 ‘미리아드’라고 읽었다. 예를 들어, 1억을 읽으려면 ‘미리아드 미리아드’라고 읽어야 했다.

아르키메데스는 1억에 해당하는 미리아드 미리아드(즉, 10⁸)를 첫 번째 수로 하고, 첫 번째 수를 두 번 곱한 수를 두 번째 수(10⁸×10⁸=10¹⁶), 그리고 첫 번째 수와 두 번째 수를 곱한 수를 세 번째 수(10⁸×10¹⁶=10²⁴)로 구했다. 같은 방식으로 계속 큰 수를 구하면 여덟 번째 수(10⁸×10⁵⁶=10⁶⁴)를 구할 수 있다. 아르키메데스는 이 과정에서 당시 천문학자 아리스타코스가 주장한 우주의 반지름(현재의 거리로 약 2광년에 해당)을 바탕으로 ‘양귀비 씨앗 한 개의 크기에 해당하는 모래알의 수는?’, ‘손가락 크기에 해당하는 양귀비 씨앗 개수는?’, ‘육상 경기장 한 개를 가득 채우는 데 필요한 손가락의 개수는?’과 같은 어림 계산 과정을 순차적으로 반복했다. 그 결과 우주를 모래알로 채울 경우 그 개수가 여덟 번 째 수(8×10⁶³)를 넘지 않을 것이라고 추정한 것이다.

사실 이 수는 오늘날의 계산으로 따지면 우주를 채우기에 턱없이 모자라다. 하지만 지수 표기법도 없던 당시 수학의 수준으로 이 정도 계산을 해낸 것은 아르키메데스의 천재성을 보여 준다.

어떻게 하면 같은 수의 곱을 편리하게 나타낼까?

오늘날 우리는 거듭제곱을 나타낼 때 2³, aⁿ, (x+y)² 등과 같이 쓴다. 이때 3, n, 2와 같이 어떤 수나 문자의 오른쪽 어깨 위에 붙어서 그 수나 문자의 거듭제곱을 나타내는 숫자나 문자를 ‘지수’라고 한다. 지수 표기의 기원은 오래 전으로 거슬러 올라간다. 9세기경 이슬람의 수학자 알콰리즈미는 제곱에 ‘mal’, 세제곱에 ‘kab’라는 단어를 사용했다. 알콰리즈미가 썼던 mal과 kab는 이후 m과 k로 줄어들어 15세기까지 이슬람 수학자들에 의해 사용됐다.

이후 1586년 네덜란드의 수학자 스테빈은 1제곱은 ‘①’, 2제곱은 ‘②’로 표시했다. 예를 들어 2×2×2+3×3은 ‘2③+3②’로 나타냈다. 그러다가 프랑스의 수학자 피에르 헤리곤이 1634년 출간한 자신의 책에서 지수를 a, a2, a3 등으로 썼다. 이때까지도 아직 지수가 어떤 수나 문자의 어깨 위로는 올라가지 못한 상황! 그렇다면 지수는 언제 오늘날 우리가 쓰는 형태와 비슷해진 것일까?

1636년 프랑스의 수학자 제임스 흄은 현대의 방식과 매우 비슷한 형태의 지수 표기법을 사용했다. 하지만 그는 아라비아 숫자 대신 로마 숫자로 지수를 나타냈다. 즉, A³을 Aⁱⁱⁱ이라고 표기한것이다. 그러다가 프랑스의 수학자 데카르트가 <;기하학>;(1637)에서 처음으로 현대의 지수 표기법을 사용하게 된다. 하지만 종종 a²과 aa를 섞어서 사용하기도 하고, 지수로 음의 정수나 분수는 사용하지 않고 양의 정수만을 사용했다.

음의 정수와 분수를 지수로 사용한 주인공은 영국의 과학자이자 수학자인 아이작 뉴턴이다. 뉴턴은 1676년 런던왕립협회의 서기였던 헨리 올덴버그에게 자신이 12년 전 발견한 ‘일반화된 이항정리’에 대해 설명하는 편지에 다음과 같이 썼다.