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내 이름은 고정석. 우리 동네 예체능 팀이 곧 우리 동네로 온다는 소식에 바둑 대결을 준비하고 있다. 비록 지난 10년 동안 준비한 프로기사의 꿈은 실패했지만, 우리 동네에서 만큼은 바둑의 1인자가 되고 싶다. 그러기 위해선 뭔가 특별한 묘수가 필요하다.
문득 신이 내린 계산력을 가졌다는 우리 동네의 바둑 고수가 생각났다. 혹시 그에겐 ‘수학으로 두는 특별한 한 수’가 있지 않을까?

 바둑은 두 사람이 흑과 백의 돌을 서로 번갈아가며 둬서, 누가 얼마나 더 많은 집을 만드는가를 겨루는 게임이다. 이때 바둑돌은 가로와 세로가 각각 19줄로 이뤄진 격자판의 교차점에 놓인다. 바둑에서 이렇게 두 사람이 바둑돌을 번갈아 두는 것을 ‘착수’라고 한다.

그렇다면 착수할 수 있는 경우의 수는 얼마나 될까? 교차점의 갯수만 하더라도 무려 19×19=361가지이므로, 그 수가 무척 많다는 걸 예상할 수 있다.

19×19 바둑판의 착수 경우의 수를 구하기 위해, 먼저 가로와 세로가 각각 2줄로 이뤄진 가장 간단한 격자 바둑판을 생각해 보자. 이때 교차점은 4개다. 그리고 각 교차점에서 일어날 수 있는 경우는 흑돌을 두는 경우, 백돌을 두는 경우 또는 아무 것도 두지 않는 경우로 총 3가지다.

각각의 점마다 3가지 경우의 수가 있으므로, 바둑돌을 둘 수 있는 전체 경우의 수는 3⁴=81가지다. 81가지의 경우의 수를 전부 나타내면 아래 그림과 같다.
 
그러나 81가지 경우가 모두 착수 가능한 것은 아니다. 바둑에서는 상대방의 집에는 돌을 둘 수 없다는 규칙, 즉 착수 불가능한 곳이 있기 때문이다. 예를 들어 그림❶과 같은 경우는 이미 흑돌 세 개로 흑집을 만들었기 때문에 나머지 칸에 백돌을 둘 수 없다.
 
마찬가지로 그림❷ 역시 백돌 2개로 백이 두 집을 만들었기 때문에, 흑돌을 둘 수 없는 착수 불가능한 경우가 된다. 이와 같이 착수 불가능한 경우 24가지를 제외하면 총 57가지 경우의 수가 나온다. 이는 전체 81개의 경우의 수에서 약 70%에 해당하는 값이다.

그렇다면 19×19인 바둑판에서의 착수 경우의 수는 얼마나 될까? 네덜란드 컴퓨터 과학자 존 트롬프는 바둑판의 격자가 2×2인 경우부터 착수 경우의 수와 그 착수 비를 계산했다. 결과는 아래 표와 같았다.

격자의 크기가 커질수록 착수 경우의 수는 급격히 커지고, 착수 비는 점점 줄어들어드는 것을 알 수 있다. 19×19인 격자인 경우 착수 비는 약 1.2%로 작지만, 경우의 수는 무려 2.08×${10}^{170}$나 된다. 이 값은 10의 100제곱을 뜻하는 ‘1구골’보다도 훨씬 더 큰 값으로, 우주에 있는 원자의 개수인 12×${10}^{78}$보다도 비교할 수 없을 만큼 큰 수다.
 

 이제 본격적으로 바둑을 시작해 보자. 게임 시작 후 약 20~30개의 돌을 두는 초반전, 집을 차지하기에 유리하도록 돌을 두는 것이 매우 중요하다. 돌을 어디에 두느냐에 따라 게임의 상황이 유리하거나 불리해질 수 있기 때문이다. 바둑에서는 이와 같이 집 차지에 유리하도록 초반에 두는 돌들을 ‘포석’이라고 한다. 다시 말해 집이나 세력을 얻기 위해 돌을 효율적으로 배치하는 것이 포석의 목적이다.

수학적으로 완벽한 포석을 하려면 어떻게 해야 할까? 먼저 돌을 두는 곳에 따라 얼마만큼의 힘이 전체에 미치는지를 수식으로 표현하는 것이 필요하다. 이 때문에 컴퓨터 바둑을 연구하는 학자들은 바둑의 형세를 판단하기 위해 필요한 함수를 만들었다. 이것을 ‘세력 함수’라고 한다.

일반적으로 바둑돌의 힘은 돌 중심에서부터 바깥으로 뻗어 나가며, 거리에 따라 힘이 감소한다. 이런 원리를 기초로 컴퓨터 바둑을 연구하는 중국의 켄 첸 교수는 간단한 형태인 ‘지수함수’를 이용해 세력함수를 다음과 같이 정의했다. 지수함수는 비선형 함수 중 증가, 감소를 나타내기 쉬운 대표적인 함수다. 단, d는 바둑돌과 세력을 받는 지점 사이의 최단 거리를 뜻한다.